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POLARISATION ROTATOIRE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$a,\,b,\,c,\,d$ étant des constantes imaginaires, $t$ une variable réelle — Quand $t$ varie de $-\infty$ à $+\infty ,$ le point $(u,v)$ décrit un cercle.

Désignons en effet par $a_{0},\,b_{0},\,c_{0},\,d_{0}$ les imaginaires conjuguées de $a,\,b,\,c,\,d\,:$

$w_{0}=u-{\sqrt {-1}}\,v={\frac {a_{0}+b_{0}t}{c_{0}+d_{0}t}}\cdot$

D’où :

${\begin{aligned}u^{2}+v^{2}=ww_{0}&={\frac {\mathrm {P} _{1}}{(c+dt)(c_{0}+d_{0}t)}}={\frac {\mathrm {P} _{1}}{\mathrm {P} _{4}}}\\[0.75ex]u&={\frac {w-w_{0}}{2}}={\frac {\mathrm {P} _{2}}{\mathrm {P} _{4}}}\\[0.75ex]v&={\frac {w-w_{0}}{2{\sqrt {-1}}}}={\frac {\mathrm {P} _{3}}{\mathrm {P} _{4}}}\\[0.75ex]1&={\frac {\mathrm {P} _{4}}{\mathrm {P} _{4}}}\\\end{aligned}}$

$\mathrm {P_{1},\,P_{2},\,P_{3},\,P_{4}}$ étant des polynômes du second degré en $t.$ Ces polynômes ne peuvent donc être indépendants et nous aurons une relation de la forme :

$\mathrm {C} _{1}(u^{2}+v^{2})+\mathrm {C} _{2}u+\mathrm {C} _{3}v+\mathrm {C} _{4}=0,$

équation qui représente un cercle.

Cela posé, considérons les points qui représentent les ellipses ayant leurs axes dirigés suivant $\mathrm {O} x',\,\mathrm {O} y',$ faisant un angle $\theta$ avec les axes de coordonnées.

Les projections des vibrations sur $\mathrm {O} x'$ et $\mathrm {O} y'$ sont :

${\begin{alignedat}{6}\xi '&=\;\;\,\xi \cos \theta +\eta \sin \theta &&=(\,\;\;\mathrm {A} \cos \theta +\mathrm {B} \sin \theta )e^{{\sqrt {-1}}\,pt}\\[0.75ex]\eta '&=-\xi \sin \theta +\eta \cos \theta &&=(-\mathrm {A} \sin \theta +\mathrm {B} \cos \theta )e^{{\sqrt {-1}}\,pt}\\\end{alignedat}}$