Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 2, 1892.djvu/293

281

THÉORIE DE M. MALLARD

Soit $\tau$ le rapport des axes :

${\frac {\mathrm {-A} \sin \theta +\mathrm {B} \cos \theta }{\mathrm {A} \cos \theta +\mathrm {B} \sin \theta }}={\sqrt {-1}}\,\tau$

ou comme :

${\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {A} }}=u+{\sqrt {-1}}\,v$

${\frac {u+{\sqrt {-1}}\,v-\mathrm {tang} \;\theta }{1+(u+{\sqrt {-1}}\,v)\,\mathrm {tang} \;\theta }}={\sqrt {-1}}\,\tau .$

Si nous cherchons le lieu des points tels que $\theta =\mathrm {const} ,$ $\tau$ sera une variable réelle, liée à $u+{\sqrt {-1}}\,v$ par une relation homographique. Nous venons de voir que, quand $\tau$ varie de $-\infty$ à $+\infty ,$ le point $(u,v)$ décrit un cercle. Ce cercle passera par les points $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} ',$ précédemment définis (fig. 41). En effet, ces points représentent des vibrations circulaires, dont les axes ont une direction indéterminée.

Si nous laissons $\tau =\mathrm {const} ,$ c’est-à-dire si nous nous donnons la forme de l’ellipse et que nous fassions varier $\theta ,$ c’est-à-dire l’orientation de cette ellipse, $\mathrm {tang} \;\theta$ est encore une variable réelle liée à $u+{\sqrt {-1}}\,v$ par une relation homographique. Le point $(u,v)$ décrit encore un cercle.

Si nous prenons $\mathrm {ON} =\tau ,$ $\mathrm {ON} '={\frac {1}{\tau }},$ le cercle passera par ces points $\mathrm {N}$ et $\mathrm {N} ',$ ces points correspondent à des ellipses ayant leurs axes dirigés suivant les axes de coordonnées : l’ellipse $\mathrm {N} '$ est égale à l’ellipse $\mathrm {N} ,$ mais elle a tourné de 90°. Par raison de symétrie, $\mathrm {NN} '$ doit être un diamètre. Comme d’autre part

$1=\mathrm {ON} .\mathrm {ON'} ={\overline {\mathrm {OP} }}^{2}={\overline {\mathrm {OP'} }}^{2}$

les deux cercles $\mathrm {NN} '$ et $\mathrm {PP} '$ se coupent orthogonalement.