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Définition. — Deux triangles sont dits semblables lorsque leurs angles homologues sont congruents.

Théorème XXII. — Si l’on désigne par a, b et a', b'. des côtes homologues dans deux triangles semblables, la proportion

$a:b=a':b'$

est vérifiée.

Démonstration — Considérons d’abord le cas particulier où les angles compris entre a et b et entre a’ et b’ (fig. 25) dans les deux

triangles sont droits, et supposons que les deux triangles aient été tous deux portés sur un même angle droit. Sur l’un des côtés de l’angle droit, portons alors, à partir du sommet O, le segment 1, et, par l’extrémité de ce segment, menons une parallèle aux hypoténuses des deux triangles. Cette parallèle déterminera sur l’autre côté de l’angle droit un segment e ; or, en vertu de notre définition du produit de deux segments, on aura

$b=ca,b'=ca',$

d’où

$ab'=ba',$

c’est-à-dire

$a:b=a':b',$

Passons maintenant au cas général. Dans chacun des deux triangles semblables déterminons les points d’intersection respectifs S et S’ des trois bissectrices, et de ces points abaissons les perpendiculaires respectives r et r’ sur les côtés des triangles.

Désignons les segments respectifs ainsi déterminés sur les cotes