Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/116

108

MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

distances. Dans ce cas donc, on aurait

$\mathrm {R} ={\frac {\alpha }{r^{2}}}+2\gamma r,\qquad \mathrm {Q} ={\frac {\beta }{q^{2}}}+2\gamma q,$

et l’on trouverait que l’intégrale (b) aurait aussi lieu dans ce cas ; seulement, il faudrait ajouter à son premier membre les termes

$\gamma \left[5r^{2}q^{2}+{\frac {3}{2}}\left(r^{4}+q^{4}\right)-h^{2}\left(r^{2}+q^{2}\right)\right]\,;$

ensuite il y aurait à ajouter au premier membre de l’équation $(c)$ les termes

${\frac {\gamma }{2}}\left[r^{6}+q^{6}+15r^{2}q^{2}\left(r^{2}+q^{2}\right)-h^{2}\left(r^{4}+q^{4}+6r^{2}q^{2}\right)\right]$

et, par conséquent, au premier membre de l’équation $(d)$ les termes

${\frac {\gamma }{4}}\left[(r\pm q)^{6}-h^{2}(r\pm q)^{4}\right],$

de sorte qu’il n’y aura qu’à augmenter les polynômes en $s$ et $u$ sous le signe, dans les équations $(e),(f),(g),$ des termes respectifs

$-{\frac {\gamma }{4}}\left(s^{6}-h^{2}s^{4}\right)\qquad {\text{et}}\qquad -{\frac {\gamma }{4}}\left(u^{6}-h^{2}u^{4}\right)\,;$

ce qui ne rend guère la solution plus compliquée.

83. Quoiqu’il soit impossible d’intégrer en général l’équation trouvée $(f)$ entre $s$ et $u,$ et d’avoir, par conséquent, une relation finie entre ces deux variables, on peut néanmoins en avoir deux intégrales particulières représentées par $s=$ const et $u=$ const.

En effet, si l’on représente en général cette équation par

${\frac {ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}}={\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}},$

il est clair qu’elle aura aussi lieu en faisant $ds$ ou $du$ nuls, pourvu que les dénominateurs ${\sqrt {\mathrm {S} }}$ ou ${\sqrt {\mathrm {U} }}$ soient aussi nuls en même temps, et du même ordre.

Pour déterminer les conditions nécessaires dans ce cas, on fera

$s=f+\omega ,$