Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/143

Cette page a été validée par deux contributeurs.

135

SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

données dans l’article 71, en accentuant les quantités respectives, et remettons les quantités $\mathrm {A_{1},\,A_{2}} ,\ldots$ à la place de leurs valeurs en $\alpha ',\,\alpha '',\,\beta ',\ldots \,;$ on trouvera facilement

-\sin \mathrm {L} d\mathrm {L} =\mathrm {A} _{1}d\chi '+\mathrm {A} _{2}d\pi '+\mathrm {B} d\chi ''+\mathrm {C} d\pi ''.

Mais

\mathrm {A_{1}=\sin L,\quad A_{2}=0,\quad B=-\sin L,\quad C=0} \,;

donc, en divisant par $\sin \mathrm {L} ,$ on aura

d\mathrm {L} =d\chi ''-d\chi '

et, intégrant,

\mathrm {L} =\chi ''-\chi '

où il n’est pas nécessaire d’ajouter des constantes, puisque l’origine des angles $\chi ',\,\chi ''$ est arbitraire. L’angle $\chi$ ^[1] est en général celui que l’orbite décrit en tournant dans son plan, et que nous avons substitué à la place de la longitude $k$ du périhélie (art. 68).

100. La fonction $(\Omega ')$ est maintenant réduite à la forme la plus simple et la plus propre pour le calcul des variations séculaires ; il n’y aura qu’à la substituer dans les formules de l’article 76, en marquant d’un trait les lettres de ces formules, pour les rapporter à la planète $\mathrm {m} ',$ dont on cherche les variations ; et, en changeant simplement entre elles les lettres marquées d’un trait et de deux, on aura des formules semblables pour les variations de la planète $\mathrm {m} '',$ et ainsi des autres.

On voit que cette fonction est composée de deux fonctions distinctes entre elles, dont l’une ne renferme que les excentricités et les lieux des aphélies dans les orbites, et dont l’autre ne renferme que les inclinaisons des orbites sur un plan fixe avec les lieux de leurs nœuds. Si l’on désigne la première par $(\Omega ')_{1}$ et la seconde par $(\Omega ')_{2},$ en sorte

↑ Voir la Note relative à cet angle $\chi ,$ page 94. On peut remarquer, en outre, que l’équation $d\mathrm {L} =d\alpha ''-d\alpha$ est subordonnée à l’hypothèse que l’on puisse négliger l’inclinaison des deux orbites l’une sur l’autre. Si l’on n’avait pas supposé $\mathrm {I} ''_{_{'}}=0,$ les formules seraient tout autres, et l’angle $\chi$ ne s’y introduirait pas. (J. Bertrand.)

[1] Voir la Note relative à cet angle $\chi ,$ page 94. On peut remarquer, en outre, que l’équation $d\mathrm {L} =d\alpha ''-d\alpha$ est subordonnée à l’hypothèse que l’on puisse négliger l’inclinaison des deux orbites l’une sur l’autre. Si l’on n’avait pas supposé $\mathrm {I} ''_{_{'}}=0,$ les formules seraient tout autres, et l’angle $\chi$ ne s’y introduirait pas. (J. Bertrand.)

[1]