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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

et les termes $\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial \xi }},\,\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial \psi }},\,\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial \varphi }}$ exprimeront les forces qui résultent de la résistance de la surface dont l’équation est $\mathrm {L} =0,$ suivant les directions des coordonnées $\xi ,\,\psi ,\,\varphi$^[1], et qui tendent à diminuer ces coordonnées.

Si l’équation de la surface était $\xi =a,$ $a$ étant une constante, ce qu’on peut toujours obtenir par le choix des coordonnées, on aurait

$\mathrm {L} =\xi -a,\qquad {\frac {\delta \mathrm {L} }{\delta \xi }}=1,\qquad {\frac {\delta \mathrm {L} }{\delta \psi }}=0,\quad {\frac {\delta \mathrm {L} }{\delta \varphi }}=0,$

et l’équation relative à $\xi$ (art. 3) serait

$d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}+\lambda +{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}=0,$

les équations relatives aux deux autres variables ne recevant aucun changement. Ainsi l’on aura tout de suite la pression $\lambda$ du corps sur la surface en faisant, dans la valeur de $\lambda ,$

${\begin{aligned}\lambda =&{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}-d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }},\\\xi =&a\qquad {\text{et}}\qquad d\xi =0.\end{aligned}}$

Comme l’application de nos formules générales n’est sujette à aucune difficulté, nous nous contenterons de donner un ou deux exemples.

§ I. — Des oscillations d’un pendule simple de longueur donnée.

15. Nous prendrons l’origine des coordonnées dans le point de suspension du pendule, et nous supposerons les ordonnées $z$ verticales et dirigées de haut en bas ; mais, à la place des coordonnées rectangles $x,\,y,\,z,$ nous prendrons un rayon $r$ qui sera la longueur du pendule, avec deux angles $\psi$ et $\varphi ,$ dont le premier sera l’inclinaison du pendule à la

1. Nous avons remarqué plusieurs fois dans la I^re Partie que ces assertions sont trop absolues. Voir les notes des pages 38, 44, 101 et 119, tome précédent. Il y a lieu de faire ici une observation analogue. (J. Bertrand.)