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SECONDE PARTIE. — SECTION VIII.

et l’on aura

$\mathrm {A} '={\frac {\mathrm {A-B\operatorname {tang} \mu +C\operatorname {tang} ^{2}\mu -D\operatorname {tang} ^{2}\mu +\ldots } }{1-\operatorname {tang} ^{2}\mu }}.$

On aura ainsi

${\frac {1}{(1+\cos \psi )\Sigma }}={\frac {2}{(2+\cos \alpha +\cos \beta )\cos ^{2}\mu \cos \gamma }}\mathrm {\left(A'+B'\cos 2\sigma +C'\cos 4\sigma +\ldots \right)} .$

On trouvera de même

${\frac {1}{(1-\cos \psi )\Sigma }}={\frac {2}{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\mu \cos \gamma }}\mathrm {\left(A''+B''\cos 2\sigma +C''\cos 4\sigma +\ldots \right)} ,$

où l’on aura, en changeant $\mu$ en $-\nu ,$

$\mathrm {A} ''={\frac {\mathrm {A+B\operatorname {tang} \nu +C\operatorname {tang} ^{2}\nu +D\operatorname {tang} ^{2}wn+\ldots } }{1-\operatorname {tang} ^{2}\nu }}.$

Faisant ces substitutions dans la valeur de $d\varphi$ de l’article 17, et intégrant de manière que $\varphi$ soit égal à $0$ lorsque $\sigma =0,$ on aura

$\varphi ={\frac {\varkappa {\sqrt {2}}\sin \alpha \sin \beta }{\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta }}}\left\{{\begin{aligned}&+{\frac {\mathrm {2A'\,\sigma +B'\,\sin 2\sigma +{\frac {1}{2}}C'\,\sin 4\sigma +\ldots } }{(2+\cos \alpha +\cos \beta )\cos ^{2}\mu \cos \gamma }}\\&+{\frac {\mathrm {2A''\sigma +B''\sin 2\sigma +{\frac {1}{2}}C''\sin 4\sigma +\ldots } }{(2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\nu \cos \gamma }}\end{aligned}}\right\}.$

En faisant $\sigma ={\frac {\pi }{2}},$ on aura l’angle compris entre les plans qui passent par la verticale et par les points le plus bas et le plus haut de la courbe décrite par le pendule ; et, cet angle étant nommé $\Phi ,$ on aura

${\begin{aligned}\Phi =&+{\frac {\pi \mathrm {A} '\varkappa {\sqrt {2}}\sin \alpha \sin \beta }{\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta (2+\cos \alpha +\cos \beta )\cos ^{2}\mu \cos \gamma }}}\\&+{\frac {\pi \mathrm {A} ''\varkappa {\sqrt {2}}\sin \alpha \sin \beta }{\sqrt {\cos \alpha +\cos \beta (2-\cos \alpha -\cos \beta )\cos ^{2}\nu \cos \gamma }}}.\end{aligned}}$

Comme tous les points les plus hauts, ou les sommets de la courbe, répondent à $\sigma ={\frac {2}{\pi }},\,{\frac {3\pi }{2}},\,{\frac {5\pi }{2}},\ldots ,$ si l’on dénote par $\Phi ',\,\Phi '',\ldots$ les valeurs de $\varphi$ pour $\sigma ={\frac {3\pi }{2}},$ ${\frac {5\pi }{2}},\ldots ,$ on aura

$\Phi '=3\Phi ,\qquad \Phi ''=5\Phi ,\quad \ldots .$