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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

laquelle devient

$f^{2}\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)-4h^{4},$

en vertu des deux intégrales précédentes, on aura une équation différentielle plus simple en ajoutant ensemble les carrés des valeurs de $d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}},\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}},\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}$ dans les trois équations différentielles (A), équation qu’on pourra aussi employer à la place d’une quelconque de celles-ci.

De cette manière, la détermination des quantités $p,\,q,$ $r$ en $t$ dépendra simplement de ces trois équations

$\mathrm {T} =h^{2},$

$\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)^{2}=f^{2},$

$\left(d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\right)^{2}+\left(d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\right)^{2}+\left(d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)^{2}=\left[f^{2}\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)-4h^{4}\right]dt^{2},$

dans lesquelles

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} r^{2}\right)-\mathrm {F} qr-\mathrm {G} pr-\mathrm {H} pq.$

26. Cette détermination est assez facile, lorsque les trois constantes $\mathrm {F,\,G,\,H}$ sont nulles ; car on a alors simplement

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} r^{2}\right)\,;$

donc

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}=\mathrm {A} p,\quad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}=\mathrm {B} q,\quad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=\mathrm {C} r\,;$

de sorte que les trois équations à résoudre seront de la forme suivante :

${\begin{aligned}\mathrm {A} p^{2}\ \ \ \,+\mathrm {B} q^{2}\quad +\mathrm {C} r^{2}\ \quad =&2h^{2},\\\mathrm {A} ^{2}p^{2}\ \ +\mathrm {B} ^{2}q^{2}\ \ +\mathrm {C} ^{2}r^{2}\ \ \ =&f^{2},\\{\frac {\mathrm {A} ^{2}dp^{2}+\mathrm {B} ^{2}dq^{2}+\mathrm {C} ^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=&f^{2}\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)-4h^{4}.\end{aligned}}$

Si donc on fait $p^{2}+q^{2}+r^{2}=u$ et qu’on tire les valeurs de $p,\,q,\,r$