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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

par $p',$ cette équation en $\alpha ,$

$\mathrm {(\alpha -A)(\alpha -B)(\alpha -C)-F^{2}(\alpha -A)-G^{2}(\alpha -B)-H^{2}(\alpha -C)+2FGH} =0,$

laquelle, étant du troisième degré, aura nécessairement une racine réelle.

Les mêmes valeurs étant substituées dans la quatrième équation, on en tirera celles de $p',\,q',\,r'$ en $\alpha ,$ lesquelles, en faisant, pour abréger,

$(\alpha )=\mathrm {\sqrt {\left[(A-\alpha )(B-\alpha )-H^{2}\right]^{2}+\left[HG+F(A-\alpha )\right]^{2}+\left[FH+G(B-\alpha )\right]^{2}}} ,$

seront exprimées ainsi :

${\begin{aligned}p'=&\mathrm {\frac {FH+G(B-\alpha )}{(\alpha )}} ,\\q'=&\mathrm {\frac {HG+F(A-\alpha )}{(\alpha )}} ,\\r'=&\mathrm {\frac {(A-\alpha )(B-\alpha )-H^{2}}{(\alpha )}} .\end{aligned}}$

Si l’on fait de nouveau les mêmes combinaisons des équations ci-dessus, mais en prenant pour multiplicateurs les quantités $p'',\,q'',\,r''$ à la place de $p',\,q',\,r',$ on en tirera ces équations-ci

${\begin{aligned}\beta p''=&\mathrm {A} p''-\mathrm {H} q''\,-\mathrm {G} r'',\\\beta q''=&\mathrm {B} q''\,-\mathrm {F} r''\,-\mathrm {H} p'',\\\beta r''=&\mathrm {C} r''\,-\mathrm {G} p''-\mathrm {F} q'',\end{aligned}}$

qui, étant jointes à l’équation de condition

$p''^{2}+q''^{2}+r''^{2}=1,$

serviront à déterminer les quatre inconnues $\beta ,\,p'',\,q'',\,r''\,;$ et, comme ces équations ne diffèrent des précédentes qu’en ce que ces inconnues y sont à la place des premières inconnues $\alpha ,\,p',\,q',\,r',$ on en conclura sur-le-champ que l’équation en $\beta ,$ ainsi que les expressions de $p'',\,q'',\,r''$ en $\beta ,$ seront les mêmes que celles que nous venons de trouver en $\alpha .$

Enfin si l’on réitère les mêmes opérations, mais en prenant $p''',\,q''',\,r'''$