Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/261

253

SECONDE PARTIE. — SECTION IX.

dont les intégrales sont

$p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}-\mathrm {T-K} \zeta '''=f,$

$\zeta '{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+\zeta ''{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+\zeta '''{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=h,$

$f$ et $h$ étant deux constantes arbitraires.

Il paraît difficile de trouver d’autres intégrales et, par conséquent, de résoudre le problème en général. Mais on y peut parvenir en supposant que la figure du corps soit assujettie à des conditions particulières.

Ainsi, en supposant $\mathrm {F} =0,$ $\mathrm {G} =0,$ $\mathrm {H} =0,$ et de plus $\mathrm {A=B} ,$ on aura

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}=\mathrm {A} p,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}=\mathrm {\dot {A}} q,$

et la troisième des équations (E) deviendra $d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=0,$ dont l’intégrale est

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=\mathrm {const} .$

Ce cas est celui où l’axe des coordonnées $c,$ c’est-à-dire la droite qui passe par le point de suspension et par le centre de gravité, est un axe naturel de rotation, et où les moments d’inertie autour des deux autres axes sont égaux (art. 32), ce qui a lieu en général dans tous les solides de révolution, lorsque le point fixe est pris dans l’axe de révolution. La solution de ce cas est facile, d’après les trois intégrales qu’on vient de trouver^[1].

En effet, puisque

$\mathrm {T} ={\frac {\mathrm {A} \left(p^{2}+q^{2}\right)}{2}}+{\frac {\mathrm {C} r^{2}}{2}},$

1. Il est digne de remarque que ce problème ait été postérieurement résolu par Poisson comme entièrement nouveau. La solution qu’il en donne, sans citer aucunement Lagrange, fait partie du XVI^e Cahier du Journal de l’École Polytechnique, publié en 1815, et a été reproduite dans la seconde édition de sa Mécanique. (J. Bertrand.)