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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

aux sinus et cosinus, ces expressions complètes et réelles de $x$ et $y$

${\begin{aligned}x=&\alpha \sin \left(\theta {\sqrt {1-\rho }}+\beta \right)+\gamma \sin \left(\theta {\sqrt {1-\sigma }}+\varepsilon \right),\\y=&+\mathrm {\frac {\alpha (A+B-C){\sqrt {1-\rho }}}{B-C+A(1-\rho )-L}} \cos \left(\theta {\sqrt {1-\rho }}+\beta \right)\\&+\mathrm {\frac {\alpha H\rho }{B-C+A(1-\rho )-L}} \sin \left(\theta {\sqrt {1-\rho }}+\beta \right)\\&+\mathrm {\frac {\gamma (A+B-C){\sqrt {1-\sigma }}}{B-C+A(1-\sigma )-L}} \cos \left(\theta {\sqrt {1-\sigma }}+\varepsilon \right)\\&+\mathrm {\frac {\gamma H\sigma }{B-C+A(1-\sigma )-L}} \sin \left(\theta {\sqrt {1-\sigma }}+\varepsilon \right),\end{aligned}}$

où $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\varepsilon$ sont des constantes arbitraires dépendantes de l’état initial du corps.

Ayant ainsi $x$ et $y,$ on aura

${\begin{aligned}s=&x+\mathrm {\frac {FH+G(B-C-L)}{(A-C-L)(B-C-L)-H^{2}}} ,\\u=&y+\mathrm {\frac {GH+F(A-C-L)}{(A-C-L)(B-C-L)-H^{2}}} .\end{aligned}}$

Donc, prenant pour $\theta$ un angle quelconque proportionnel au temps, on aura (art. 36) ces valeurs des neuf variables $\xi ',\,\eta ',\,\zeta ',\,\xi '',\,\eta '',\ldots$

${\begin{alignedat}{3}\xi '\ \,=&+\cos \theta ,&\eta '\ \,=&+\sin \theta ,&\zeta '\ \,=&s,\\\xi ''\ =&-\sin \theta ,&\eta ''\ =&+\cos \theta ,&\zeta ''\ =&u,\\\xi '''=&-s\cos \theta +u\sin \theta ,\qquad &\eta '''=&-s\sin \theta -u\cos \theta ,\qquad &\zeta '''=&1\,;\end{alignedat}}$

en sorte qu’on connaîtra les coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ de chaque point du corps pour un instant quelconque (art. 1).

Si l’on compare les expressions précédentes de $\xi ',\,\eta ',\ldots$ avec celles de l’article 7, on en déduira facilement les valeurs des angles de rotation $\varphi ,\,\psi ,\,\omega \,;$ et l’on trouvera

$\varphi +\psi =\theta ,\qquad \sin \varphi \sin \omega =s,\qquad \cos \varphi \sin \omega =u\,;$

d’où l’on tire

$\operatorname {tang} \omega ={\sqrt {s^{2}+u^{2}}},\qquad \operatorname {tang} \varphi ={\frac {s}{u}},\qquad \psi =\theta -\varphi .$