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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

qui donne l’angle $\varphi$ par $\Phi ,$ pourra, lorsque l’inclinaison est assez petite, se résoudre en série par la méthode des exponentielles imaginaires employée ci-dessus. Il n’y aura qu’à mettre, dans l’expression de $\Phi$ en $\theta ,$ $\varphi -h$ à la place de ${\frac {\Phi }{2}},$ $\Phi +k$ à la place de ${\frac {\theta }{2}},$ et $\cos i$ à la place de $\varepsilon ,$ ce qui donnera

$\mathrm {E} ={\frac {\cos i-1}{\cos i+1}}=-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {i}{2}}\,;$

et l’on aura

$\varphi -h=(\Phi +k)-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {i}{2}}\sin 2(\Phi +k)$

$+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {i}{2}}\sin 4(\Phi +k)-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {i}{2}}\sin 6(\Phi +k)+\ldots .$

L’équation qui donne $\psi$ en $\varphi$ (art. 5),

$\operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h),$

pourrait aussi se résoudre de la même manière, mais il en résulterait une série moins élégante. On aurait d’abord l’équation en exponentielles imaginaires, $i$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est $1,$

${\frac {i^{\psi {\sqrt {-1}}}-i^{-\psi {\sqrt {-1}}}}{i^{\psi {\sqrt {-1}}}+i^{-\psi {\sqrt {-1}}}}}=\operatorname {tang} i{\frac {i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}}{2}},$

d’où l’on tirerait

$i^{2\psi {\sqrt {-1}}}={\frac {1+{\cfrac {\operatorname {tang} i}{2}}\left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]}{1-{\cfrac {\operatorname {tang} i}{2}}\left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]}},$

et prenant les logarithmes

${\begin{aligned}\psi =&+{\frac {\operatorname {tang} i}{2{\sqrt {-1}}}}\ \ \ \left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]\\&+{\frac {\operatorname {tang} ^{3}i}{3.8{\sqrt {-1}}}}\ \left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]^{3}\\&+{\frac {\operatorname {tang} ^{5}i}{5.32{\sqrt {-1}}}}\left[i^{(\varphi -h){\sqrt {-1}}}-i^{-(\varphi -h){\sqrt {-1}}}\right]^{5},\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,\;;\end{aligned}}$