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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

ou d’équilibre. On aura donc aussi dans cet état

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0,$

et par conséquent

$gh\log \Delta =-\mathrm {V} \quad {\text{et}}\quad \Delta =e^{-{\frac {\mathrm {V} }{gh}}}.$

Lorsque l’air est en vibration, soit sa densité naturelle augmentée en raison de $1+s$ à $1,$ $s$ étant une quantité fort petite ; on aura donc, en général,

$\Delta ==e^{-{\frac {\mathrm {V} }{gh}}}(1+s),$

et de là, en négligeant le carré et les puissances supérieures de $s,$ on aura

$\log \Delta =-{\frac {\mathrm {V} }{gh}}-s\,;\qquad {\text{donc}}\qquad s={\frac {1}{gh}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}.$

À l’égard de la valeur de $\mathrm {V}$ qui dépend des forces accélératrices, en supposant le fluide pesant et prenant, pour plus de simplicité, les ordonnées $z$ verticales et dirigées de haut en bas, on aura, par la formule de l’article 23 (Section précédente),

$\mathrm {V} =-gz,$

$g$ étant la force accélératrice de la gravité. Donc l’équation du son sera

$gh\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right)+g{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}.$

Ayant déterminé $\varphi$ par cette équation, on aura les vitesses $p,\,q,\,r$ de l’air, ainsi que sa condensation $s,$ par les formules

$p={\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\qquad r={\frac {\partial \varphi }{\partial z}},\qquad s={\frac {1}{gh}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}.$

10. Si l’on ne veut avoir égard qu’au mouvement horizontal de l’air, on supposera que la fonction $\varphi$ ne contienne point $z,$ mais seulement $x,\,y,\,t.$ Alors l’équation en $\varphi$ deviendra

$gh\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}\right)={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}.$