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NOTES.

admette pour racine telle valeur de $\alpha$ que l’on voudra [en exceptant, bien entendu, les racines de $f'(\varphi )$]. Il y aura donc une solution du problème proposé dans laquelle la trajectoire sera l’une quelconque des courbes coordonnées [à l’exception de celles dont le paramètre annule soit $f'(\alpha ),$ soit $f_{1}'(\beta )$].

En appliquant ces propositions générales au problème de Lagrange, on reconnaîtra que toutes nos hypothèses sont vérifiées. Il suffira de rapporter le plan au système isotherme formé des ellipses et des hyperboles dont les foyers sont les deux points qui attirent en raison inverse du carré de la distance. Si $r$ et $r'$ désignent les distances d’un point à ces deux foyers, on posera

$r+r'=2\mu ,\qquad r-r'=2\nu .$

La force vive aura pour expression

$\left(\mu ^{2}-\nu ^{2}\right)\left({\frac {\mu '^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}+{\frac {\nu '^{2}}{c^{2}-\nu ^{2}}}\right).$

La fonction des forces est ici

$\mathrm {U={\frac {A}{\mu +\nu }}+{\frac {C}{\mu -\nu }}+B\left(\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)} .$

Il faut, pour appliquer les formules générales, prendre

${\begin{alignedat}{2}d\alpha =&{\frac {d\mu }{\sqrt {\mu ^{2}-c^{2}}}},&d\beta =&{\frac {d\nu }{\sqrt {c^{2}-\mu ^{2}}}},\\f(\alpha )=&\mu ^{2},&f_{1}(\beta )=&\nu ^{2},\\\varphi (\alpha )=&\mathrm {(A+C)\mu +B\mu ^{4}} ,\qquad &\varphi _{1}(\beta )=&\mathrm {(A-C)\nu +B\nu ^{4}} .\end{alignedat}}$

Par suite, les ellipses et les hyperboles homofocales pourront être des trajectoires du mobile, à l’exception de celles qui satisfont à l’une des équations

$\mu =0,\quad \nu =0,$

obtenues en différentiant $f(\alpha )$ et $f_{1}(\beta ).$

La première de ces équations ne peut avoir lieu, $\mu$ étant supérieur à $c.$ La seconde nous donne celle des hyperboles qui se réduit à l’axe non focal. Il est clair, en effet, que cet axe ne peut pas être décrit par le point matériel lorsque les attractions qui émanent des deux foyers sont inégales.