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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

des mêmes systèmes, on aura

$(\mathrm {R} m-\rho \mu )\mathrm {V} ''-(\mathrm {R} 'm'-\rho '\mu ')\mathrm {V} '+(\mathrm {R} ''m''-\rho ''\mu '')\mathrm {V} =0,$

et l’élimination des constantes $\mathrm {z} ,\,{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}$ des dernières équations de ces systèmes donnera pareillement

$(\mathrm {R} n-\rho \nu )\mathrm {V} ''-(\mathrm {R} 'n'-\rho '\nu ')\mathrm {V} '+(\mathrm {R} ''n''-\rho ''\nu '')\mathrm {V} =0,$

De ces trois équations on tire

${\begin{aligned}&\mathrm {R\ \ ={\frac {\rho \Gamma V''-\rho '\Gamma 'V'+\rho ''\Gamma ''V}{GV''}}} ,\\&\mathrm {R'\ =-{\frac {\rho \Gamma _{1}V''-\rho '\Gamma '_{1}V'+\rho ''\Gamma ''_{1}V}{GV'}}} ,\\&\mathrm {R''={\frac {\rho \Gamma _{2}V''-\rho '\Gamma '_{2}V'+\rho ''\Gamma ''_{2}V}{GV}}} ,\\\end{aligned}}$

en supposant, pour abréger,

$\mathrm {G} =lm'n''+mn'l''+nl'm''-ln'm''-ml'n''-nm'l'',$

et en dénotant par $\Gamma ,\,\Gamma ',\,\Gamma ''$ ce que devient $\mathrm {G}$ lorsqu’on y change $l,\,m,\,n$ respectivement en $\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ en $\lambda ',\,\mu ',\,\nu '$ et en $\lambda '',\,\mu '',\,\nu ''\,;$ en dénotant de même par $\Gamma _{1},\,\Gamma '_{1},\,\Gamma ''_{1}$ et par $\Gamma _{2},\,\Gamma '_{2},\,\Gamma ''_{2}$ ce que $\mathrm {G}$ devient en faisant subir les mêmes changements aux quantités $l',\,m',\,n',$ ainsi qu’aux quantités analogues $l'',\,m'',\,n''.$

Maintenant les trois observations donnent aussi (art. 37, 38) les équations

${\begin{aligned}\mathrm {R^{2}\ -2R\rho \quad \cos(CS)} \quad +\rho ^{2}\ \ =&r^{2},\\\mathrm {R'^{2}\ -2R'\rho '\ \cos(C'S')} \ \ +\rho '^{2}\ =&r'^{2},\\\mathrm {R''^{2}-2R''\rho ''\cos(C''S'')} +\rho ''^{2}=&r''^{2}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on y substitue les valeurs précédentes de $\mathrm {R,\,R',\,R''} ,$ on aura trois équations finales qui ne contiendront que des quantités connues, avec les quantités $\mathrm {V,\,V',\,V''}$ et $r,\,r',\,r'',$ qui sont données en fonctions du temps et des trois constantes $\mathrm {r,\,s} ,\,{\frac {d\mathrm {s} }{dt}},$ d’où dépendent les éléments