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or on aura donc

$1+n^{2}+\left[{\frac {n(n-1)}{1.2}}\right]^{2}+\left[{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}\right]^{2}+\ldots ={\frac {1.3.5\ldots (2n-1)}{1.2.3\ldots n}}2^{n}.$

On peut encore parvenir à cette équation au moyen de la propriété connue de la différence n^ième du produit $uy,$ car on a

$d^{n}uy=u\,d^{n}y+n\,du\,d^{n-1}y+{\frac {n(n-1)}{1.2}}d^{2}u\,d^{n-2}y+\ldots .$

Soit $yz=u=x^{n},$ et l’on aura

${\begin{aligned}d^{n}x^{2n}&=1.2.3\ldots nx^{n}\left\{1+n^{2}+\left[{\frac {n(n-1)}{1.2}}\right]^{2}+\left[{\frac {n(n-1)(n-1)}{1.2.3}}\right]^{2}+\ldots \right\}\\&=2n(2n-1)\ldots (n+1)x^{n},\end{aligned}}$

ce qui donne, comme ci-dessus,

$1+n^{2}+\left[{\frac {n(n-1)}{1.2}}\right]^{2}+\ldots ={\frac {1.2.3\ldots 2n}{(1.2.3\ldots n)^{2}}}.$

On pourrait peut-être parvenir à des propriétés analogues sur les puissances supérieures des termes du binôme $(1+1)^{n},$ mais je ne les ai point recherchées.

Il n’y a rien de nouveau en Géométrie à Paris, si ce n’est qu’il va paraître incessamment deux Volumes d’opuscules de M. d’Alembert, et dont on a fait déjà le Rapport à l’Académie. Je crois que notre Volume de 1777 ne tardera pas à paraître et qu’il sera publié avant les vacances ; mais, à l’exception des Mémoires que j’ai l’honneur de vous envoyer, et de celui de M. du Séjour sur les atmosphères des planètes, je ne connais point les Mémoires qu’il renferme ; je crois seulement qu’ils sont en petit nombre.

Recevez de nouveau, monsieur et très illustre Confrère, l’assurance des sentiments profonds d’estime et d’amitié dont je suis pénétré pour vous, et avec lesquels je serai toute la vie

Votre très humble et très obéissant serviteur,

Laplace.

P. S. M. le marquis de Caraccioli, ambassadeur de Naples à la Cour