Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/148

tendum imprimis exponentes, si positivi, gradus differentiationis, \sin\psi negativi, gradus integrationis denotare ; \sin\psi autem aequales nihilo, tunc argumentum esse, quantitatem illam, cui huju\sinodi additur exponens neque differentiatione, neque integratione opus habere, sed potius uti est, relinquendam ; verum hæc omnia clarius exemplis aliquotperspici posse existimo. Habendum sit itaque differentiale $1^{\mathrm {mum} }$ ipsius $xy$ facto $m=1,$ series hunc indicat valorem $x^{1}y^{0}+x^{0}y^{1},$ seu

$y\,dx+x\,dy\,;$

si $m=2,$ series fiet

$x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+x^{0}y^{2},$

unde obtinebitur differentiale $2^{\mathrm {dum} }$

$y\,d^{2}x+2dy\,dx+x\,d^{2}y\,;$

eodem modo, si $m=3,$ fiet differentiale $3^{\mathrm {tium} }$

$y\,d^{3}x+3dy\,d^{2}x+3d^{2}y\,dx+x\,d^{3}y\,;$

existente nempe etiam $dx$ fluente ; atque idem dicitur de cæteris differentiationis gradibus. Veniamus nunc ad integrationes. Quæratur integrale hujus quantitatis $y\,dx,$ substituto itaque in série $dx$ loco $x$ et facto $m=-1$ (quoniam intégrale quod quæritur est $1^{\mathrm {mum} }$) in hanc ipsam transformabitur

$dx^{-1}y^{0}-dx^{-2}y^{1}+dx^{-3}y^{2}-dx^{-4}y^{3}+dx^{-3}y^{4}-dx^{-6}y^{5}+\ldots .$

Porro $dx^{-1}=x,$ $dx^{-2}$ integrale $2^{\mathrm {dum} }dx,$ seu integrale $1^{\mathrm {mum} }$ ipsius $x={\frac {x^{2}}{2dx}},$ $dx^{-3}={\frac {x^{3}}{2.3dx^{2}}},$ $dx^{-4}={\frac {x^{4}}{2.3.4dx^{3}}},$ et generatim

$dx^{-m}={\frac {x^{m}}{2.3.4\ldots m\,dx^{m-1}}},$

posito nempe semper $dx$ constanti ; hoc enim per harum quantitatum differentiationem videre est, namque

$d{\frac {x^{2}}{2dx}}=x,\qquad {\frac {x^{3}}{2.3dx^{2}}}={\frac {x^{2}}{2dx}},\qquad \ldots \,;$