Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/149

substitutis igitur hisce valoribus in serie mox inventa, fiet integrale quæsitum, seu

$\int y\,dx=xy-{\frac {x^{2}dy}{2dx}}+{\frac {x^{3}d^{2}y}{2.3dx^{2}}}-{\frac {x^{4}d^{3}y}{2.3.4dx^{3}}}+{\frac {x^{5}d^{4}y}{2.3.4.5dx^{4}}}-\ldots \,;$

sed an non hæc est illa ipsa séries, quam jampridem celeberrimus Leibnitius pro valore $\int ydx$ dedit ? Verum hac methodo non hæc tantum, sed infinitæ prope mod… aliæ, in quibus, vel solum $y,$ vel $y$ et $dy$ et $dy^{2}\ldots$ desint, pro ut opus fuerit, pro eadem quantitate $\int y\,dx$ poterunt inveniri ; nempe loco $y\,dx$ accipiatur ejus differentialis $dy\,dx,$ et substitutis in serie générali $dy,$ loco $y$ et $dx$ loco $x,$ et facto $m=-2$ (quia hic duplex requiritur integratio) ipsaque reducta habebitur

$\int y\,dx={\frac {x^{2}dy}{2dx}}-{\frac {2x^{3}d^{2}y}{2.3dx^{2}}}+{\frac {3x^{4}d^{3}y}{2.3.4dx^{3}}}-{\frac {4x^{5}d^{4}y}{2.3.4.5dx^{4}}}+\ldots .$

Hanc autem seriem etiam verum esse ipsius $\int y\,dx$ valorem quivis potest experiri eam bis differentiando, restitui enim semper observabitur ipsam primam quantitatem $dx\,dy,$ cæteris terminis se mutuo destruentibus. Vides igitur quomodo et ad altiores accommodari possit integrationes ; interim tamen hoc firme tenendum loco $x$ in serie générali semper substituendam esse aliquam quantitatem, cujus differentiale ut constans habeatur, vel saltem ipsummet differentiale constans ; secus enim numquam obtineri possent valores veri quantitatum $x^{-1},\,x^{-2},\,x^{-3},\,\ldots .$ Atque hæc quidem sunt, vir clarissime, quæ tibi hac de re nunc perscribenda judicavi ; cæterum maximo meo erga te studio condonato, si hoc mihi censerim, ut ad te literas darem ; ex quo enirn proeclarissima scripta tua, atque præstantissimumimprimis Mechanices opus^[1] evolvere cœpi, ita semper in te animo affectus fui, ut nihil optatius ferme haberem, quam ut hujusce animi mei tibi per literas significandi occasionem nanciscerem ; nunc vero, quoniam, hujusce novi inventi mei gratia sese mihi opportuna obtulit, ipsam cette de manibus dimittere nullo modo potui. Gratissimum porro mihi nunc

1. Mechanica sive motus scientia analytice exposita. Pétersbourg, 1736, 2 vol in-4^o.