Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/152

Prœnotanda.

I. Differentiale ipsius $y$ quatenus hic differentiatur, $x$ manente, pro habendo maximo, minimove formulæ datæ valore, ad distinctionem aliarum ejusdem $y$ differentiarum, quoe in illa jam ingrediuntur, denotabo per $\delta \,;$ sic et $\delta dy$ est differentia ipsius $dy,$ dum $y$ crescunt quantitate $\delta y\,;$ idem die generaliter de valore $\delta \operatorname {F} (y)$ [$\operatorname {F} (y)$ mihi est functio quæcumque $y$].

II. Ex dissertatione tua de infinitis curvis ejusdem generis (Comm. Acad. Petrop. anno 1734 inserta)^[1] sub initium facile colligatur fore semper

$\delta \,d\operatorname {F} (y)=d\,\delta \operatorname {F} (y)\quad {\text{et generaliter}}\quad \delta \,d^{m}\operatorname {F} (y)=d^{m}\,\delta \operatorname {F} (y)\,;$

unde et

$\delta \,d^{m}y=d^{m}\,\delta y.$

III. Ex calculo differentialium patet esse

1o

$\int z\,du=zu-\int u\,dz\,;$

2o

$\int z\,d^{2}u=z\,du-u\,dz+\int u\,d^{2}z\,;$

3o

$\int z\,d^{3}u=z\,d^{2}u-dz\,du+u\,d^{2}z-\int u\,d^{3}z\,;$

et sic de cæteris.

IV. Similiter ex eodem evidens est

$\int u\int z=\int u\times \int z-\int z\int u\,;$

unde si $\int u,$ posito $x=a$ ($u$ enim et $z$ sunt functiones $x$ et $y$), fiat $=\mathrm {H} ,$ et $\mathrm {H} -\int u=\mathrm {V}$ erit item posito $x=a$

$\int u\int z=\int Vz.$

1. De infinitis curvis ejusdem generis : seu methodus inveniendi œquationes pro infinitis curvis ejusdem generis, Commentarii, années 1734-1735, t. VIII, 1740, p. 174 et 184.