Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/155

seu, ponendo $e^{-\int (\mathrm {L} )}\mathrm {V} =\mathrm {S} ,$ erit

$\mathrm {N+(N)S} -d\mathrm {\left[P+(P)S\right]} +d^{2}\mathrm {\left[Q+(Q)S\right]} -\ldots =0\,;$

similiter invenio etiam æquationem pro habendo maximo minimove, si pro $\delta \pi$ loco superioris æquationis

$d\,\delta \pi =(\mathrm {L} )\delta \pi +(\mathrm {N} )\delta y+(\mathrm {P} )d\,\delta y+\ldots$

habeatur hæc alia

$d^{2}\delta \pi =(k)d\,\delta \pi +(\mathrm {L} )\delta \pi +(\mathrm {N} )\delta y+(\mathrm {P} )d\,\delta y+\ldots$

quod usu venire potest in quærenda brachistochrona in hypothesi, quod corpus urgeatur perpetuo versus datum centrum virium mobile, aliis in casibus bene multis. Et generaliter hæc methodus succedit, cujuscunque ordinis differentialia ipsius $\delta \pi$ in ejus æquatione contineantur.

Scholion.

Quod supra in problem. I ut et in cæteris aliis posuerim $\delta y,\,d\,\delta y\ldots =0,$ idem ut, ibidem innui, ex eo factum est, quod ut data consideraverim plura curvæ puncta ; ita ut $y,y',y'',\ldots$ pro constantibus fuerint habendi ; verum si, exempli gratia, in casu primo unicum tantum detur punctum adeoque una applicata, seu y tantum haberi debeat pro constante, hinc fiet quidem $\delta y=0$ sed non $d\,\delta y=0\,;$ unde ponendum erit $=0$ ejus coefficiens seu $\mathrm {Q} -\ldots ,$ ex quo habebitur determinatio unius constantis ; hic enim, ut patet, in $\mathrm {Q} -\ldots$ ponitur $x=a\,;$ si nullum vero punctum daretur præter $\mathrm {Q} -\ldots$ etiam $\mathrm {P} -d\mathrm {Q} +\ldots$ æquandum esset nihilo ; unde duarum haberentur constantium determinationes. Atque hoc, in cæteris problematibus, idem dicendum. Cæterum aliquando evenit, ut non puncta, sed aliæ determinationes habeantur, ut in quærenda curva citissimi appulsus ad rectam positione datam ; his, et similibus casibus, artificio quodam simplicissimo uno, eodemque calculo non solum speciem, sed et individuitatem curva quesitæ invenio ut in hoc exemplo calculus mihi statim ostendit, eam esse illam cycloidem, quæ datam rectam ad angulos rectos secet.