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J’ai lu avec la plus grande satisfaction votre Mémoire sur les suites infinies^[1], et j’y ai trouvé des vues très profondes et très ingénieuses sur cette matière. Je souhaiterais seulement que vous eussiez pris la peine de descendre dans de plus longs détails pour en faire voir l’utilité et l’application ; peut-être les trouverai-je dans les Mémoires que vous destinez au Volume de 1771, et dont j’ai d’avance une grande idée^[2]. La méthode d’approximation que vous donnez à la page 281 m’a paru très belle, et j’ai d’abord voulu en faire l’application à l’équation

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {K} y^{2}+i\mathrm {M} y^{2}+i^{2}\mathrm {N} y^{3}+\ldots =0,$

que j’ai traitée ailleurs^[3] ($\mathrm {K,M,N}$ étant des coefficients constants et $i$ une quantité très petite) ; voulant pousser l’exactitude jusqu’aux termes de l’ordre de $i^{2}$ inclusivement, j’ai employé le multiplicateur

$\left(\mathrm {X} +i\mathrm {P} y+i^{2}\mathrm {Q} y^{2}\right)dt+i(p+iqy)dy+i^{2}\mathrm {N} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}dt,$

$\mathrm {X,\,P,\,Q} ,\,\ldots$ étant les fonctions de $t,$ et, ayant négligé les quantités au-dessus de $i^{2},$ et achevé le calcul, j’ai trouvé que la valeur de $y$ en $t$ contiendrait des arcs de cercle, quoique elle ne doive point en contenir, et n’en contienne point en effet suivant ma méthode.

Il ne me reste de papier que pour vous embrasser, et vous renouveler les assurances de ma tendre et inviolable amitié.

M. Bernoulli m’a chargé de vous faire ses très humbles compliments.

À Monsieur le Marquis de Condorcet, de l’Académie Royale des Sciences.
à Ribemont (par Saint-Quentin).

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1. Mémoire sur la nature des suites infinies, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences, p. 193, année 1769.
2. Le Volume de 1771 contient les Mémoires suivants de Condorcet : Sur la détermination des fonctions arbitraires qui entrent dans les intégrales des équations aux différences partielles (p. 49) ; – Réflexions sur les méthodes d’approximation connues jusqu’ici pour les équations différentielles (p. 281) ; – Théorèmes sur les quadratures (p. 693).
3. Dans le Tome III des Miscellanea taurinensia. – Voir le Tome I, p. 554 de la présente édition.