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$\mathrm {A} x=x,\ xy=y$ et $yz=z$ qui seront certaines fonctions des premières $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ pour un instant donné. Soient donc

${\begin{aligned}dx=&\mathrm {L} d\mathrm {X} +\mathrm {M} d\mathrm {Y} +\mathrm {N} d\mathrm {Z} ,\\dy=&\mathrm {P} d\mathrm {X} +\mathrm {Q} d\mathrm {Y} \,+\mathrm {R} d\mathrm {Z} ,\\dz=&\mathrm {S} \,d\mathrm {X} +\mathrm {T} \,d\mathrm {Y} +\mathrm {V} d\mathrm {Z} .\end{aligned}}$

Ensuite, je considère un volume infiniment petit de fluide, qui, dans l’état d’équilibre, ait la figure pyramidale $\mathrm {Z} \xi \eta \theta$ (fig. 2) rectangulaire,

Fig. 2.

déplacement d'un minuscule volume de fluide à forme pyramidale

qui par l’agitation, soit transportée en $z\lambda \mu \nu ,$ dont la figure sera aussi pyramidale, et posant, pour l’état d’équilibre,

les coordonnées

des points                      $\overbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }$

${\begin{array}{lccc}z\ldots \ldots \ldots &\mathrm {X} &\mathrm {Y} &\mathrm {Z} \\\xi \ldots \ldots \ldots &\mathrm {X} +\alpha &\mathrm {Y} &\mathrm {Z} \\\eta \ldots \ldots \ldots &\mathrm {X} &\mathrm {Y} +\beta &\mathrm {Z} \\\theta \ldots \ldots \ldots &\mathrm {X} &\mathrm {Y} &\mathrm {Z} +\gamma \end{array}}$

on aura, pour l’état d’agitation,

les trois coordonnées

des points             $\overbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }$

${\begin{alignedat}{6}&z\ldots \ldots \quad \mathrm {A} x&=&x&&xy&&=y&&yz&&=z\\&\xi \ldots \ldots \quad \mathrm {AL} &=&x+\mathrm {L} \alpha &&\mathrm {L} l&&=y+\mathrm {P} \alpha &&l\lambda &&=z+\mathrm {S} \alpha \\&\eta \ldots \ldots \quad \mathrm {AM} &=&x+\mathrm {M} \beta &&\mathrm {M} m&&=y+\mathrm {Q} \beta &&m\mu &&=z+\mathrm {T} \beta \\&\theta \ldots \ldots \quad \mathrm {AN} &=&x+\mathrm {N} \gamma \quad &&\mathrm {N} n&&=y+\mathrm {R} \gamma \quad &&n\nu &&=z+\mathrm {V} \gamma \end{alignedat}}$

Le volume de la pyramide $\mathrm {Z} \xi \eta \theta$ égale ${\frac {1}{6}}\alpha \beta \gamma .$

Il s’agit de trouver le volume de la pyramide $z\lambda \mu \nu ,$ qu’on voit être