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et, pour la seconde,

$\varphi +{\frac {\partial }{\partial \mathrm {Z} }}z\mathrm {Z} =\varphi (p)+\varphi (q)$

$+\int {\frac {\left[\psi (p,t)-\psi (q,t)+\left(p-t{\sqrt {c}}\right){\cfrac {\partial \psi (p,t)}{\partial p}}-\left(q+t{\sqrt {c}}\right){\cfrac {\partial \psi (q,t)}{\partial q}}\right]dt}{2{\sqrt {c}}}}.$

Or, en considérant le cas d’une ligne physique d’air, on trouve aisément l’équation

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=c{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \mathrm {Z} ^{2}}}-c{\frac {\partial }{\partial \mathrm {Z} }}\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial \mathrm {Z} ^{2}}}-{\frac {\partial ^{3}z}{\partial \mathrm {Z} ^{3}}}+\ldots \right)\,;$

on aura donc, pour la première approximation qui provient du terme ${\frac {\partial ^{2}z}{\partial \mathrm {Z} ^{2}}},$

$z=\varphi (p)+\varphi (q)-{\frac {t{\sqrt {c}}}{2}}{\sqrt {\varphi ^{_{'}2}(p)-\varphi ^{_{'}2}(q)-{\frac {1}{2}}\left[\varphi '(p)-\varphi '(q)\right]^{2}}},$

sauf erreur de calcul ; on trouvera aussi, par les approximations suivantes, des termes de trois, de quatre, dimensions de $\varphi .$ Or, afin que la vitesse de la propagation augmente, il faudrait que ce fût le coefficient de $t$ dans $\varphi (p)$ et $\varphi (q)$ qui augmente, ce qui devrait donner des termes à ajouter à $\varphi$ de cette sorte $\alpha t\varphi ',\ \beta t^{2}\varphi '',\ldots ,$ d’où il me parait raisonnable de pouvoir conclure que les termes trouvés ne sont nullement propres à faire augmenter cette vitesse. On trouvera aussi des résultats semblables en calculant la propagation par la seconde formule mais je me défendrai néanmoins de rien décider sur ce point avant d’en avoir votre jugement, que je suis très empressé à vous demander. Au reste, lorsque le temps $t$ aura une valeur assez grande, les termes qui ne sont pas multipliés par $t$ s’évanouiront auprès de ceux de leurs semblables qui le sont ; on trouvera dans ce cas la formule

$z=\varphi (p)+\varphi (q)-{\frac {{\sqrt {c}}\,t}{2}}{\sqrt {\varphi ^{_{'}2}(p)-\varphi ^{_{'}2}(q)}}-c{\frac {{\sqrt {c}}\,t^{3}}{2.4.3}}{\sqrt {\left[{\frac {\partial \varphi '(p)}{\partial p}}\right]^{2}-\left[{\frac {\partial \varphi '(q)}{\partial q}}\right]^{2}}}$

$-c^{3}{\frac {{\sqrt {c}}\,t^{5}}{2.4.16.9.3}}{\sqrt {\quad }}\ldots .$

À l’égard de la formule pour la propagation sphérique, elle est si compliquée que ce n’est pas la peine de la transcrire ici.