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négatif, on aura

$n=4\qquad {\text{et}}\qquad z=\mathrm {Z} \varphi \left(\mathrm {Z} ^{-1}\pm t{\sqrt {c}}\right)\,;$

si $\mu =1,$ prenant le signe positif, on aura $n=-{\frac {4}{3}}$ et la valeur de $z$ sera

$\varphi \left(\mathrm {Z} ^{\frac {1}{3}}\pm {\frac {t{\sqrt {c}}}{3}}\right)-\mathrm {Z} ^{\frac {1}{3}}\varphi '\left(\mathrm {Z} ^{\frac {1}{3}}\pm {\frac {t{\sqrt {c}}}{3}}\right)\,;$

en général, ces formules auront toujours autant de termes qu’il y a d’unités dans $\mu +1\,;$ mais ce qu’il y a de remarquable, c’est qu’excepté la première, et celle où $n=0,$ qui ne sont composées que d’un seul terme, toutes les autres donnent des courbes génératrices avec des branches dissemblables à l’infini d’où il suit que les cordes ne peuvent jamais plus reprendre leur figure primitive, si cela n’arrive par hasard, et rendre par conséquent un ton fixe et invariable ; c’est ce que l’expérience parait confirmer dans toutes les cordes d’inégale épaisseur, et que les musiciens nomment pour cela fausses. Comme il serait de la dernière importance de décider si la grandeur des ébranlements peut rendre leur propagation plus prompte, j’ai cherché des moyens pour résoudre ce problème au moins par approximation, en supposant d’abord les ébranlements infiniment petits et puis en introduisant dans les termes qu’on a négligés les valeurs trouvées, et résolvant de nouveau l’équation, comme on le pratique ordinairement dans toutes les approximations. J’ai vu que le tout dépendait de la résolution des équations

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=c{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \mathrm {Z} ^{2}}}+\mathrm {F} \qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=c\left[{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \mathrm {Z} ^{2}}}+2{\frac {\partial }{\partial \mathrm {Z} }}\left({\frac {z}{\mathrm {Z} }}\right)\right]+\mathrm {F} ,$

$\operatorname {F}$ étant une fonction quelconque donnée de $\mathrm {Z}$ et $t\,;$ or j’ai trouvé pour cela, selon ma méthode, les formules suivantes : soit fait $\mathrm {Z} +t{\sqrt {c}}=p\,;\ \mathrm {Z} -t{\sqrt {c}}=q$ et, substituant dans $\int \operatorname {F} d\mathrm {Z}$ au lieu de $\mathrm {Z}$ d’abord $p-t{\sqrt {c}},$ ensuite $q+t{\sqrt {c}},$ qu’elle devienne $\psi (p,t)$ et $\psi (q,t)$ ; on aura, pour la première équation,

$z=\varphi (p)+\varphi (q)+\int {\frac {\left[\psi (p,t)-\psi (q,t)\right]dt}{2{\sqrt {c}}}}$