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et ensuite, faisant quarrer,

$z=\varphi (q)+\psi (p)=\varphi \left(x-t{\sqrt {a}}\right)+\psi \left(x+t{\sqrt {a}}\right),$

où ces fonctions sont absolument indéterminées et dépendent entièrement de notre volonté, de sorte que la construction générale se puisse faire par deux courbes décrites à plaisir, l’appliquée de l’une donnant $\varphi \left(x-t{\sqrt {a}}\right)$ pour l’abscisse $x-t{\sqrt {a}},$ et de l’autre $\psi \left(x+t{\sqrt {a}}\right)$ pour l’abscisse $x+t{\sqrt {a}}.$

Mais, si l’on demandait une semblable intégrale complète pour le cas où $a$ serait une quantité négative $-b,$ je ne vois pas comment on la pourrait représenter par des courbes arbitraires, puisqu’on n’y saurait assigner les appliquées qui répondent à des abscisses imaginaires.

La réduction aux arcs de cercle, en posant

$x=v\cos \varphi \qquad {\text{et}}\qquad t{\sqrt {b}}=v\sin \varphi ,$

qui donneront

$z=\mathrm {A} +\mathrm {B} v\cos \varphi +\mathrm {C} v^{2}\cos 2\varphi +\ldots +\mathrm {K} v\sin \varphi +\mathrm {L} v^{2}\sin 2\varphi +\ldots ,$

combien de termes qu’on ne prenne^[1], ne saurait jamais produire une solution générale, en sorte que posant $t=0,$ il en résulte entre $z$ et $x$ une relation donnée exprimée par quelque courbe décrite à volonté.

Pour le problème des isopérimètres pris dans sa plus grande étendue, c’est à vous que nous sommes redevables de la plus parfaite solution, et je fus bien surpris de voir par quelle adresse vous l’avez étendu à des surfaces et même à des polygones. Vous conviendrez que ces profondes recherches mériteraient un développement plus détaillé. Il est fâcheux que la solution du cas où l’on demande, entre tous les solides de la même capacité, celui dont la surface est la plus petite conduise à une équation presque absolument intraitable ; on voit bien que les surfaces sphériques et cylindriques y sont comprises, sans être en état de les en conclure. Mais les corps ont des bizarreries qui ne se trouvent pas dans les surfaces ; quoique tous les côtés d’un polygone et même

1. C’est-à-dire quel que soit le nombre des termes.