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loisir nécessaire pour m’occuper de la théorie des équations à différences partielles avec toute l’application qu’elle demande, et pour étudier à fond ce que vous avez fait sur cette matière. Parmi les découvertes que vous y avez faites, il en est une qui mérite, ce me semble, la plus grande attention, et qui peut donner lieu à des réflexions importantes sur cette espèce d’analyse c’est que toute équation à différences partielles d’un ordre supérieur au premier n’a pas toujours une intégrale d’un ordre immédiatement inférieur, quoiqu’elle puisse avoir d’ailleurs une intégrale finie. Quoique je sois assuré a posteriori de la vérité de cette proposition, j’avoue que je n’en vois pas encore assez bien la raison a priori ; et je me flatte de trouver dans vos autres recherches les éclaircissementsqui m’y paraissent nécessaires. Voici un théorème assez simple que j’ai trouvé depuis peu, relativement à l’intégration des équations'à différences partielles du premier ordre. Si l’on a une équation entre $u,\,{\frac {\partial u}{\partial x}},$ et ${\frac {\partial u}{\partial y}},$ et qu’on connaisse une valeur particulière de $u,$ laquelle ne renferme point de fonctions arbitraires, mais qui contienne cependant deux constantes arbitraires, on peut toujours par son moyen trouver l’intégrale complète. Et il est remarquable que toutes les équations de cette espèce qu’on a intégrées jusqu’à présent par différentes voies peuvent l’être par ce théorème, parce que les intégrales particulières se présentent nat rellement ; c’est ce que j’ai fait voir dans un Mémoire que je viens de lire à l’Académie sur ce sujet^[1]. On peut étendre le théorème aux équations qui renferment $u,\,{\frac {\partial u}{\partial x}},\,{\frac {\partial u}{\partial y}},\,{\frac {\partial u}{\partial z}},$ dit du du et il faut alors que la valeur particulière de $u$ renferme trois constantes arbitraires, et ainsi de suite.

Je vous prie de me rappeler dans le souvenir de M. d’Alembert et de l’embrasser pour moi ; j’attends avec impatience l’envoi que M. de la Lande vient de faire à M. Bernoulli, parce que je compte y trouver un paquet de sa part contenant le reste de ses derniers Opuscules ; c’est pourquoi je remets à lui écrire que j’aie reçu ce paquet.

1. Voir ce Mémoire dans le Tome III p. 549 de la présente édition.