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donnerez, Monsieur, que j’aie différé si longtemps de répondre à l’obligeante Lettre dont vous m’avez honoré. D’ailleurs, depuis environ un an, la théorie de la Lune m’a tellement occupé que je n’ai presque pu penser à d’autres choses^[1]. Trois habiles calculateurs m’ont bien voulu assister pendant tout ce temps, et, quoique nous y ayons rencontré mille obstacles, nous les avons surmontés presque tous assez heureusement, de sorte que nos travaux sur cette matière se trouvent actuellement sous presse. Jamais une recherche n’a demandé tant de pénibles calculs et tant d’adresse dans l’exécution ; cependant, il s’en faut de beaucoup que cette matière soit entièrement épuisée ; nous devons nous contenter, si les Tables que nous en avons tirées s’accordent encore mieux avec le ciel que celles de MM. Mayer et Clairaut^[2], et que leur usage soit beaucoup plus aisé.

Malgré ces pénibles recherches, je n’ai point manqué de profiter de quelques moments pour étudier vos excellents Mémoires, qui m’ont été communiqués par M. Formey ; et d’abord, ce qui m’a frappé le plus et que je ne puis pas assez admirer, c’est la beauté et l’étendue infinie de votre théorème général, lorsque

x=t+\varphi (t)+{\frac {1}{2}}d\varphi ^{2}(t)+{\frac {1}{6}}d^{2}\varphi ^{3}(t)+{\frac {1}{24}}d^{3}\varphi ^{3}(t)+\ldots ,

et marquant par $\psi (x)$ une fonction quelconque de $x$ et prenant $\psi (t)$ une semblable fonction de $t,$ on aura toujours

{\begin{aligned}\psi (x)=\psi (t)&+\varphi (t)\psi '(t)+{\frac {1}{2}}d\varphi ^{2}(t)\psi '(t)\\&+{\frac {1}{6}}d^{2}\varphi ^{3}(t)\psi '(t)+{\frac {1}{24}}d^{3}\varphi ^{4}(t)\psi '(t)+\ldots ,\end{aligned}}

en omettant les divisions par les puissances de $dt.$ Ce théorème me paraît déjà de la dernière importance sans même avoir égard à l’équation $t=x-\varphi (x),$ dont il fournit la résolution et dont vous vous servez avec le plus heureux succès pour résoudre toutes sortes d’équa-

↑ Le sujet proposé par l’Académie des Sciences de Paris avait été, en 1768, remis une seconde fois au concours pour 1770. La moitié du prix fut alors adjugée à Euler, et la question remise au concours pour 1772 ; cette fois, le prix fut partagé entre Euler et Lagrange ; voir t. XIII, lettres 45, 48, 50, 55 et suiv., 61 et suiv., 71 et suiv., 80 et suiv., 102.
↑ Voir tome XIII, lettres 27, 49, 62, 84.

[1] Le sujet proposé par l’Académie des Sciences de Paris avait été, en 1768, remis une seconde fois au concours pour 1770. La moitié du prix fut alors adjugée à Euler, et la question remise au concours pour 1772 ; cette fois, le prix fut partagé entre Euler et Lagrange ; voir t. XIII, lettres 45, 48, 50, 55 et suiv., 61 et suiv., 71 et suiv., 80 et suiv., 102.

[2] Voir tome XIII, lettres 27, 49, 62, 84.

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