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Par conséquent, nous en obtiendrons

$\psi (x)=\psi (t)+\varphi (t)\psi '(t)+\ldots .$

Dans le Mémoire que j’ai composé sur ce théorème, j’ai aussi considéré cette équation plus générale $t=x-\mathrm {P} ,$ où $\mathrm {P}$ est une fonction quelconque de $x$ et $t,$ et j’ai trouvé qu’on aura encore

$\psi (x)=\psi (t)+\operatorname {Q} \psi '(t)+{\frac {\left[\operatorname {Q} ^{2}\psi '(t)\right]}{1.2\,dt}}+\ldots ,$

$\mathrm {Q}$ signifiant une fonction dans laquelle $\mathrm {P}$ sera changé, en substituant cc pour $t$ et $t$ pour $x,$ et introduisant de nouveau après la différentiation $t$ au lieu de $a.$

Il n’y a que fort peu de temps que j’ai trouvé des formules, à ce qu’il me semble, assez belles, pour les différences finies des fonctions de deux ou plusieurs variables.

Soit $z$ une fonction quelconque de deux variables $x$ et $y,$ et supposons $x$ augmenté de $p$ et $y$ de $q,$ ainsi qu’il suit

$x'=x+p,\qquad {\text{et}}\qquad y'=y+p\,;$

soit de plus $z'$ telle fonction de $x',y'$ que $z$ est de $x$ et $y,$ et on aura

${\begin{alignedat}{4}&z'=z&&+p{\frac {\partial z}{\partial x}}&&+{\frac {1}{2}}p^{2}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}&&+{\frac {1}{1.2.3}}p^{3}{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{3}}}+\ldots \\&&&+q{\frac {\partial z}{\partial y}}&&+{\frac {2}{2}}pq{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}&&+{\frac {3}{1.2.3}}p^{2}q{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{2}\partial y}}+\ldots \\&&&&&+{\frac {1}{2}}q^{2}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}&&+{\frac {3}{1.2.3}}pq^{2}{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x\partial y^{2}}}+\ldots \\&&&&&&&+{\frac {1}{1.2.3}}q^{3}{\frac {\partial ^{3}z}{\partial y^{3}}}+\ldots .\end{alignedat}}$

Si l’on supposait que $z$ serait une fonction de trois variables comme $x,y,u,$ il ne serait plus difficile de trouver la valeur de $z'.$

Dans le Tome XV de nos Commentaires, nouvellement imprimé^[1],

1. Année 1771. Ce Volume des Novi Commentarii contient, dans la partie Mathematica, quatre Mémoires d’Euler.