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Je finis en vous assurant des sentiments de respect et d’attachement avec lesquels j’ai l’honneur d’être, Monsieur,

Votre très humble et très obéissant serviteur,

A.–F. LEXELL..

Voici encore un fort curieux problème analytique de M. Euler qu’il a trouvé en traitant des corps solides dont les surfaces peuvent être déployées sur des plans : Trouver six quantités $l,m,n,\lambda ,\mu ,\nu ,$ telles que les formules

$ldx+\lambda dy,\qquad mdx+\mu dy,\qquad ndx+\nu dy$

soient intégrables et qu’on ait

$l^{2}+m^{2}+n^{2}=1,\qquad \lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=1,\qquad l\lambda +m\mu +n\nu =0.$

J’en ai trouvé cette solution :

Sur une surface sphérique, soit décrite une ligne courbe quelconque

courbe sur une surface sphérique

$\mathrm {MO} ,$ soit $\mathrm {POQ}$ un grand cercle qui touche $\mathrm {MO}$ en $\mathrm {O} ,$ et posons

$\mathrm {PO=MO\qquad {\text{et}}\qquad PO\pm QO=90^{\circ }} .$

Soient de plus trois points $\mathrm {A,B,C}$ tellement situés que les arcs $\mathrm {AB} ,$ $\mathrm {AC,BC}$ soient chacun égaux à $90^{\circ }\,;$ et joignons $\mathrm {AP,BP,CP} \,;$ $\mathrm {AQ,BQ,CQ.}$ À présent, si l’arc $\mathrm {MO}$ est nommé $\omega ,$ que $s$ soit une quantité variable indépendante de $\omega ,$ on doit prendre

$x=\varphi (\omega )+s\sin \omega \qquad {\text{et}}\qquad y=\psi (\omega )+s\cos \omega ,$