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Theorema demonstrandum. — Si formula differentialis ${\frac {(x-1)dx}{\log x}}$ ita integretur ut, facto $x=0,$ integrale evanescat, tum vero statuatur $x=1,$ ejus valor æqualis est logarithmo binarii, ubi quidem logarithmi hyperbolici sunt intelligendi.

De la main de Lagrange : reçu le 26 janvier 1775,
répondu le 10 février.  

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30.

EULER À LAGRANGE.

À Saint-Pétersbourg, ce 23 mars 1775^[1].

Monsieur et très honoré Confrère,

Il est bien glorieux pour moi d’avoir pour successeur à Berlin le plus sublime géomètre de ce siècle, et il est certain que je n’aurais pu rendre à l’Académie un plus grand service qu’en prenant mon congé, et, à cet égard, je puis me vanter d’une grande supériorité sur vous, vu que vous ne lui sauriez jamais rendre un tel service.

J’ai parcouru avec la plus grande avidité les excellents Mémoires dont vous avez enrichi les derniers Volumes de Berlin et de Turin, où je n’ai pu assez admirer l’adresse et la facilité avec lesquelles vous traitez tant d’objets épineux qui m’ont coûté bien de la peine. Tel est le mouvement d’un corps attiré vers deux points fixes, et surtout l’intégration de cette équation différentielle

${\frac {m\,dx}{\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4}}}}={\frac {n\,dy}{\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}+\mathrm {E} y^{4}}}},$

toutes les fois que les deux nombres $m$ et $n$ sont rationnels. Cette

1. Ms. f° 44. – Opera postuma, t. II, p. 586.