Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/254

recherche renferme encore une autre branche, lorsqu’on y ajoute des numérateurs semblables, où il s’agit de trouver un tel rapport entre les variables $x$ et $y,$ que la somme ou la différence de deux telles formules deviennent algébriques ; d’où j’ai tiré autrefois la solution de cette question :

Le quart d’une ellipse $\mathrm {ACB}$ étant donné (fig. 1), $y$ trouver deux points $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ tels que l’arc $\mathrm {PQ}$ soit précisément la moitié de l’arc $\mathrm {AB} .$

(Fig. 1)

quart d'ellipse avec 2 points

Cette matière me paraît avoir encore beaucoup in recessu.

Ce que vous me marquez, Monsieur, à l’occasion du petit théorème

$\int {\frac {(x-1)dx}{\log x}}=\log ^{2},$

en prenant $x=1,$ m’a extrêmement réjoui ; et j’ai vu avec la plus grande satisfaction que vous en avez d’abord pénétré tout le mystère, et que vous avez poussé ces recherches beaucoup plus loin que je n’avais fait en quelque Mémoire composé sur ce sujet. J’ai été frappé surtout de cet excellent théorème que, en prenant l’intégrale depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$

$\int {\frac {\left(x^{n}-x^{m}\right)dx}{\left(1+x^{r}\right)\log x}}$

est égal à

$\int \left[\operatorname {tang} {\frac {(n+1)\pi }{2r}}\operatorname {tang} {\frac {(m+1)\pi }{2r}}\right],$

de la vérité duquel je me suis d’abord convaincu par des séries infinies, qui m’ont fait connaître que cette intégrale $\int {\frac {x^{n}dx}{\left(1+x^{r}\right)\log x}},$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ est toujours égale à $\log \operatorname {tang} {\frac {(n+1)\pi }{2r}},$ après avoir trouvé que $\int {\frac {dz}{\left(1+z^{2}\right)\log z}},$ depuis $z=0$ jusqu’à $z=\infty ,$ est tou-