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$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant deux constantes arbitraires. Ainsi, l’intégrale complète de la proposée en $y$ sera

$y=\mathrm {A} \left(1+3z{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{3}}+\mathrm {B} \left(1-3z{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{3}}-{\frac {(1+3z)^{\frac {1}{3}}}{4}}-{\frac {(1-3z)^{\frac {1}{3}}}{4}}.$

Pour déterminer les deux constante. $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ supposons en général que, lorsque $z=0,$ on doive avoir $y=a$ et ${\frac {dy}{dz}}=b\,;$ donc

$a=\mathrm {A+B} -{\frac {1}{2}},\qquad b=(\mathrm {A-B} ){\sqrt {-1}}\,;$

d'où

$\mathrm {A} ={\frac {1}{4}}+{\frac {a+{\cfrac {b}{\sqrt {-1}}}}{2}},\qquad \mathrm {B} ={\frac {1}{4}}+{\frac {a-{\cfrac {b}{\sqrt {-1}}}}{2}},$

et substituant,

$y=\left(a+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\left(1+3z{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left(1-3z{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2}}$

$+b{\frac {\left(1+3z{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{3}}-\left(1-3z{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2{\sqrt {-1}}}}-{\frac {(1+3z)^{\frac {1}{3}}+(1-3z)^{\frac {1}{3}}}{4}}.$

Ces deux expressions

${\frac {\left(1+3z{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left(1-3z{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\left(1+3z{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{3}}-\left(1-3z{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2{\sqrt {-1}}}},$

quoique sous une forme imaginaire, sont néanmoins toujours réelles, comme on peut s’en convaincre en réduisant en série les deux radicales cubiques. D’ailleurs il est facile de prouver que, si l’on prend un angle $\varphi$ dont la tangente soit égale à $3z,$ les deux quantités dont il s’agit deviendront

${\sqrt {1+9z^{2}}}\cos {\frac {\varphi }{3}}\qquad {\text{et}}\qquad {\sqrt {1+9z^{2}}}\sin {\frac {\varphi }{3}}.$

Enfin, si l’on fait l’équation du troisième degré en $x,$

$4x^{3}-3x{\sqrt[{3}]{1+9z^{2}}}-1=0,$

laquelle tombe dans le cas irréductible et a, par conséquent, trois