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la question est de réduire, s’il est possible, ces expressions de $s$ et de $u$ à une autre forme, où il n’y ait point d’arc de cercle $t.$

Comme $p$ et $q$ sont des constantes arbitraires, je't ire les valeurs de ces constantes pour pouvoir ensuite les faire disparaître par la différentiation j’ai, en ne poussant l’approximation que jusqu’aux $\alpha ^{2},$

${\begin{aligned}p=&s+\alpha lut-\alpha ^{2}\left[{\frac {ut}{12}}\left(18l^{2}+5s^{2}+5u^{2}\right)+l^{2}{\frac {st^{2}}{2}}\right],\\q=&u-\alpha lst+\alpha ^{2}\left[{\frac {st}{12}}\left(18l^{2}+5s^{2}+5u^{2}\right)-l^{2}{\frac {ut^{2}}{2}}\right].\end{aligned}}$

Je différentie, et je dégage ensuite les différences ${\frac {ds}{dt}},{\frac {du}{dt}}\,;$ en divisant par les quantités qui les multiplient, il me vient, en négligeant toujours les $\alpha ^{3},$

${\begin{aligned}{\frac {ds}{dt}}+\alpha lu-\alpha ^{2}{\frac {u}{12}}\left(18l^{2}+5s^{2}+5u^{2}\right)=&0,\\{\frac {du}{dt}}-\alpha ls+\alpha ^{2}{\frac {s}{12}}\left(18l^{2}+5s^{2}+5u^{2}\right)=&0,\end{aligned}}$

équations semblables à celles que vous trouvez entre $p,q$ et $\mathrm {T}$ (p. 283), et qui, étant intégrées comme ces dernières, donneront des valeurs de $s,u$ en $t,$ sans arcs de cercle. Si maintenant on substitue les valeurs de $p$ et $q$ en $s$ et $u,$ dans les autres termes de la formule (5), on a, en négligeant toujours les $\alpha ^{3},$

${\begin{aligned}y=l&-\left({\frac {1}{2}}-\alpha l\right)\left(2l^{2}+s^{2}+u^{2}\right)+s\sin t+u\cos t\\&+\alpha \left({\frac {su}{3}}-{\frac {2\alpha sul}{3}}\right)\sin 2t+\alpha \left[{\frac {u^{2}-s^{2}}{6}}+{\frac {\alpha l\left(s^{2}-u^{2}\right)}{3}}\right]\cos 2t\\&+{\frac {\alpha ^{2}s}{48}}\left(3u^{2}-s^{2}\right)\sin 3t+{\frac {\alpha ^{2}u}{48}}\left(u^{2}-3s^{2}\right)\cos 3t.\end{aligned}}$

On voit que les arcs $t$ disparaissent d’eux-mêmes, non seulement dans les équations différentielles

${\frac {ds}{dt}}+\ldots =0,\qquad {\frac {du}{dt}}+\ldots =0,$

mais encore dans l’expression de $y\,;$ sans cette condition, l’élimination