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rebrousse chemin avec la même vitesse $u$ et sur la même tangente, dans le temps $\mathrm {T} ,$ il décrirait l’espace $u\mathrm {T} +{\frac {r\mathrm {T} ^{2}}{2}},$ parce que la résistance doit être prise en sens contraire ; c’est l’espace pris négativement qui répond au temps $\theta =-\mathrm {T} ,$ et la flèche correspondante serait ${\frac {g\mathrm {T} ^{2}}{2}},$ et, si l’on veut que les deux espaces décrits de part et d’autre soient égaux, comme Newton le suppose, on aura l’équation

$u\theta -{\frac {r\theta ^{2}}{2}}=u\mathrm {T} +{\frac {r\mathrm {T} ^{2}}{2}},$

d’où l’on tire, aux $\theta ^{3}$ près,

$\mathrm {T} =\theta -{\frac {r\theta ^{2}}{u}}.$

Substituant cette valeur dans la flèche ${\frac {g\mathrm {T} ^{2}}{2}},$ elle devient ${\frac {g\theta ^{2}}{2}}-{\frac {gr\theta ^{3}}{u}}\,;$ et la différence des deux flèches sera ${\frac {gr\theta ^{3}}{u}}\,;$ c’est la quantité que nous avons nommée ci-dessus $\delta .$ D’un autre côté, il est clair qu’on a, suivant les dénominations employées ci-dessus,

$\alpha =u\theta -{\frac {r\theta ^{2}}{2}},\quad \gamma ={\frac {g\theta ^{2}}{2}},\quad \rho ={\frac {r\theta ^{2}}{2}}\,;$

donc

${\frac {r}{g}}={\frac {\rho }{\gamma }}={\frac {\delta \alpha }{4\gamma ^{2}}}\,;$

de là, en faisant $\alpha =o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}},$ et prenant $\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},\ \mathrm {R} o^{2}-\mathrm {S} o^{3}$ pour les deux flèches, ce qui donne $\gamma =\mathrm {R} o^{2},\ \delta =2\mathrm {S} o^{3},$ on a

${\frac {r}{g}}={\frac {\rho }{\gamma }}=\mathrm {\frac {S{\sqrt {1+Q^{2}}}}{2R^{2}}} ,$

comme Newton l’a trouvé par sa construction.

21. Maintenant il est aisé de voir que ce résultat vient des équa-