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tions

${\begin{alignedat}{2}u\theta -{\frac {r\theta ^{2}}{2}}=&o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}},\quad &-u\mathrm {T} -{\frac {r\mathrm {T} ^{2}}{2}}=&-o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}},\\{\frac {g\theta ^{2}}{2}}=&\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},&{\frac {g\mathrm {T} ^{2}}{2}}=&\mathrm {R} o^{2}-\mathrm {S} o^{3},\end{alignedat}}$

ou bien simplement de celles-ci,

$u\theta -{\frac {r\theta ^{2}}{2}}=o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}},\quad {\frac {g\theta ^{2}}{2}}=\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},$

en prenant $\theta$ et $o$ positivement et négativement, ce qui revient à vérifier ces équations indépendamment de la valeur de $o,$ qui en effet doit demeurer indéterminée, étant supposée très-petite.

La première équation donne, aux termes du troisième ordre près, $\theta$ et $o$ étant du premier,

$\theta ={\frac {o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}{u}}+{\frac {r\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)o^{2}}{2u^{3}}}.$

Cette valeur étant substituée dans la seconde, on a, au quatrième ordre près,

${\frac {g\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)o^{2}}{2u^{2}}}+{\frac {gr\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}o^{3}}{2u^{4}}}=\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},$

et la comparaison des termes homogènes en $o$ donne

$\mathrm {R} ={\frac {g\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)}{2u^{2}}},\quad \mathrm {S} ={\frac {gr\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{2u^{4}}}.$

De la première on tire $u^{2}={\frac {g\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)}{2\mathrm {R} }},$ et, cette valeur étant substituée dans la seconde, on a le résultat de Newton :

${\frac {r}{g}}={\frac {\mathrm {S} {\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}{2\mathrm {R} ^{2}}}.$

Mais nous devons remarquer que ce dernier résultat, étant tiré de la comparaison des termes affectés de $o^{3}$ dans la transformée de l’équation ${\frac {g\theta ^{2}}{2}}=\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},$ ne saurait être exact, parce que le premier membre cette équation, qui est l’expression de la flèche en temps, n’est lui-