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le rayon du sphéroïde sera donc

$a\left[1+{\frac {5\alpha \varphi }{4}}\left(1-\mu ^{2}\right)\right],$

d’où il suit que ce sphéroïde est un ellipsoïde de révolution, ce qui est conforme à ce qui précède.

Nous voilà ainsi parvenus à déterminer directement, et indépendamment des suites, la figure d’un sphéroïde homogène de révolution qui tourne sur son axe, et à faire voir qu’elle ne peut être que celle d’un ellipsoïde, qui se réduit à une sphère lorsque $\varphi =0,$ en sorte que la sphère est la seule figure de révolution qui satisfasse à l’équilibre d’une masse fluide homogène immobile.

De là on peut généralement conclure que, si la masse fluide est sollicitée par des forces quelconques très-petites, il n’y a qu’une seule figure possible d’équilibre, ou, ce qui revient au même, il n’y a qu’un seul rayon $a(1+\alpha y)$ qui puisse satisfaire à l’équation de l’équilibre

const.$={\frac {4}{3}}\alpha \pi y-\alpha \iint y'dpdq'\sin p-{\rm {N}},$

$y$ étant une fonction de $\theta$ et de la longitude $\varpi ,$ et $y'$ étant ce que devient $y$ lorsque l’on y change $\theta$ et $\varpi$ en $\theta '$ et $\varpi '.$ Supposons, en effet, qu’il y ait deux rayons différents $a(1+\alpha y)$ et $a(1+\alpha y+\alpha v),$ qui satisfassent à cette équation ; on aura

const.$={\frac {4}{3}}\alpha \pi (y+v)-\alpha \iint (y'+v')dpdq'\sin p-{\rm {N}}.$

En retranchant l’équation précédente de celle-ci, on aura

const.$={\frac {4}{3}}\pi v-\iint v'dpdq'\sin p.$

Cette équation est visiblement celle d’un sphéroïde homogène en équilibre, dont le rayon est $a(1+\alpha v),$ et qui n’est sollicité par aucune force étrangère à l’attraction de ses molécules. L’angle $\varpi$ disparaissant de lui-même dans cette équation, le rayon $a(s1+\alpha v)$ y satisferait encore, en y changeant $\varpi$ successivement dans $\varpi +d\varpi ,\ \varpi +2d\varpi ,\ldots \,;$ d’où il suit que, si l’on nomme $v_{1},v_{2},\ldots$ ce que devient $v$ en vertu de