partielles
L’une de ces fonctions se déterminera au moyen de la fonction qui a disparu par les différentiations, et il est visible qu’elle sera un multiple de cette fonction. Quant à l’autre fonction, si l’on suppose que le fluide recouvre un noyau solide, elle se déterminera au moyen de l’équation à la surface du noyau, en observant que la valeur de relative à la couche fluide contiguë à cette surface est la même que celle de cette surface. Ainsi la figure du sphéroïde dépend et de la figure du noyau intérieur, et des forces qui sollicitent le fluide.
30. Si le sphéroïde est entièrement fluide, rien ne déterminant alors une des constantes arbitraires, il semble qu’il doit y avoir une infinité de figures d’équilibre. Examinons particulièrement ce cas, d’autant plus intéressant qu’il paraît avoir eu lieu primitivement pour les corps célestes.
Nous observerons d’abord que les couches du sphéroïde doivent diminuer de densité, en allant du centre à la surface ; car il est clair que, si une couche plus dense était placée au-dessus d’une couche moins dense, ses molécules pénétreraient dans celle-ci, de même qu’un corps pesant s’enfonce dans un fluide de moindre densité ; le sphéroïde ne serait donc point en équilibre. Mais, quelle que soit sa densité au centre, elle ne peut être que finie ; en réduisant donc l’expression de dans une suite ascendante par rapport aux puissances de cette suite sera de la forme et étant positifs ; on aura ainsi
et l’équation différentielle en deviendra
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(i)}}{\partial a^{2}}}=\left[(i-2)(i+3)+{\frac {6n\gamma a^{n}}{(n+3){\text{ϐ}}}}-\ldots \right]{\frac {{\rm {Y}}^{(i)}}{a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfbcde455be3862608d6a1cd108c33cb3a844fa1)
![{\displaystyle -{\frac {6}{a}}\left[1-{\frac {n\gamma a^{n}}{(n+3){\text{ϐ}}}}+\ldots \right]{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(i)}}{\partial a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d114fea8ab93f22b95d39bd23bd1497f1cffc6)
