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Pour intégrer cette équation, supposons que ${\rm {Y}}^{(i)}$ soit développé dans une suite ascendante par rapport aux puissances de $a,$ de cette forme

${\rm {Y}}^{(i)}=a^{s}{\rm {U}}^{(i)}+a^{s'}{\rm {U'}}^{(i)}+\ldots \,;$

l’équation différentielle précédente donnera

(e)$\quad \left\{{\begin{aligned}&(s+i+3)(s-i+2)a^{s-2}{\rm {U}}^{(i)}+(s'+i+3)(s'-i+2)a^{s'-2}{\rm {U'}}^{(i)}+\ldots \\&\qquad ={\frac {6n\gamma a^{n}}{(n+3){\text{ϐ}}}}\left[(s+1)a^{s-2}{\rm {U}}^{(i)}+(s'+1)a^{s'-2}{\rm {U'}}^{(i)}+\ldots \right]\end{aligned}}\right.$

En comparant les puissances semblables de $a,$ on a d’abord

$(s+i+3)(s-i+2)=0,$

ce qui donne

$s=i-2,\quad$et$\quad s=-i-3.$

À chacune de ces valeurs de $s$ répond une série particulière, qui, étant multipliée par une arbitraire, sera une intégrale de l’équation différentielle en ${\rm {Y}}^{(i)}\,;$ la somme de ces deux intégrales en sera l’intégrale complète. Dans le cas présent, la suite qui répond à $s=-i-3$ doit être rejetée ; car il en résulterait pour $a{\rm {Y}}^{(i)}$ une valeur infinie lorsque $a$ serait infiniment petit, ce qui rendrait infinis les rayons des couches infiniment voi\sines du centre. Ainsi, des deux intégrales particulières de l’expression de ${\rm {Y}}^{(i)},$ celle qui répond à $s=i-2$ doit seule être admise. Cette expression ne renferme plus alors qu’une arbitraire, qui sera déterminée par la fonction ${\rm {Z}}^{(i)}.$

${\rm {Z}}^{(i)}$ étant nul par le n^o 23, ${\rm {Y}}^{(i)}$ est pareillement nul, en sorte que le centre de gravité de chaque couche est au centre de gravité du sphéroïde entier. En effet, l’équation différentielle en ${\rm {Y}}^{(i)}$ du numéro précédent donne

${\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}^{(1)}}{\partial a^{2}}}=\left({\frac {2}{a^{2}}}-{\frac {6\rho a}{\int \rho d.a^{3}}}\right){\rm {Y}}^{(1)}-{\frac {6\rho a^{2}}{\int \rho d.a^{3}}}{\frac {\partial {\rm {Y}}^{(1)}}{\partial a}}.$

On satisfait à cette équation en faisant ${\rm {Y}}^{(1)}={\frac {{\rm {U}}^{(1)}}{a}},\ {\rm {U}}^{(1)}$ étant indépendant de $a.$ Cette valeur de ${\rm {Y}}^{(i)}$ est celle qui répond à l’équation