Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/113

et par conséquent $dh$ commence à croître ; il ne peut donc jamais devenir négatif, d’où il suit que $h$ et $dh$ conservent constamment le même signe, du centre à la surface. Maintenant, ces deux quantités sont positives en partant du centre ; car on a, en vertu de l’équation (e), $s'-2=s+n-2,$ ce qui donne $s'=i+n-2\,;$ on a ensuite

$(s'+i+3)(s'-i+2){\rm {U'}}^{(i)}={\frac {6n(s+1)\gamma {\rm {U}}^{(i)}}{(n+3){\text{ϐ}}}},$

d’où l’on tire

${\rm {U}}^{(i)}={\frac {6(i-1)\gamma {\rm {U}}^{(i)}}{(n+3)(2i+n+1){\text{ϐ}}}}\,;$

on aura donc

${\begin{aligned}h&=a^{i-2}+{\frac {6(i-1)\gamma a^{i+n-2}}{(n+3)(2i+n+1){\text{ϐ}}}}+\ldots ,\\\\{\frac {dh}{da}}&=(i-2)a^{i-3}+{\frac {6(i-1)(i+n-2)\gamma a^{i+n-3}}{(n+3)(2i+n+1){\text{ϐ}}}}+\ldots \end{aligned}}$

$\gamma ,$, ϐ et $n$ étant positifs, on voit qu’au centre $h$ et $dh$ sont positifs, lorsque $i$ est égal ou plus grand que $2$ ; ils sont donc constamment positifs, du centre à la surface.

Relativement à la Terre, à la Lune, à Jupiter, etc., ${\rm {Z}}^{(i)}$ est nul ou insensible, lorsque $i$ est égal ou plus grand que $3$ ; l’équation (2) du numéro précédent devient alors

$0=\left[3a^{2i+1}\int \rho d{\frac {h}{a^{i-2}}}-(2i+1)a^{i}h\int \rho d.a^{3}+3\int \rho d\left(a^{i+3}h\right)\right]{\rm {U}}^{(i)},$

la première intégrale étant prise depuis $a=a$ jusqu’à $a=1,$ et les deux autres étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=a.$ À la surface, où $a=1,$ cette équation devient

$0=\left[-(2i+1)h\int \rho d.a^{3}+3\int \rho d\left(a^{i+3}h\right)\right]{\rm {U}}^{(i)},$

équation que l’on peut mettre sous cette forme

$0=\left[-(2i-2)\rho h+(2i+1)h\int a^{3}d\rho -3\int a^{i+3}hd\rho \right]{\rm {U}}^{(i)}.$

$d\rho$ est négatif du centre à la surface, et $h$ croît dans le même inter-