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valle ; la fonction $(2i+1)h\int a^{3}d\rho -3\int a^{i+3}hd\rho$ est donc négative dans le même intervalle ; ainsi, dans l’équation précédente, le coefficient de ${\rm {U}}^{(i)}$ est négatif, et ne peut être nul à la surface ; ${\rm {U}}^{(i)}$ doit donc être nul, ce qui donne ${\rm {Y}}^{(i)}=0\,;$ l’expression du rayon du sphéroïde se réduit ainsi à $a+\alpha a\left({\rm {Y}}^{(0)}+{\rm {Y}}^{(2)}\right),$ c’est-à-dire que la surface de chaque couche de niveau du sphéroïde est elliptique, et par conséquent sa surface extérieure est elliptique.

${\rm {Z^{(2)},}}$ par rapport à la Terre, est, par le n^o 23, égal à $-{\frac {g}{2\alpha }}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\,;$ l’équation (2) du numéro précédent donne ainsi

0=\left[{\frac {4}{3}}\pi a^{5}\int \rho dh-{\frac {4}{3}}\pi a^{2}h\int \rho d.a^{3}+{\frac {4}{3}}\pi \int \rho d\left(a^{5}h\right)\right]{\rm {U}}^{(2)}

-{\frac {g}{2\alpha }}a^{5}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).

À la surface, la première intégrale $\int \rho dh$ est nulle ; on aura donc à cette surface, où $a=1,$

{\rm {U}}^{(2)}={\frac {-{\frac {g}{2\alpha }}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)}{{\frac {4}{3}}\pi h\int \rho d.a^{3}-{\frac {4}{3}}\pi \int \rho d\left(a^{5}h\right)}}

Soit $\alpha \varphi$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur ; l’expression de la pesanteur étant, aux quantités près de l’ordre $\alpha ,$ égale à ${\frac {4}{3}}\pi \int \rho d.a^{3},$ on aura $g={\frac {4}{3}}\pi \alpha \varphi \int \rho d.a^{3}\,;$