Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/134

infinie, ${\rm {V}}$ serait égal à la somme des masses du sphéroïde et du fluide, divisée par $r$ ; en nommant donc $m$ cette somme, on aura ${\rm {U}}^{(0)}+{\rm {U}}_{\text{ı}}^{(0)}=m.$ Ne portons l’approximation que jusqu’aux quantités de l’ordre $\alpha ^{2}$ ; nous pourrons supposer

$r=1+\alpha y+\alpha ^{2}y',$

ce qui donne

$r^{i+3}=1+(i+3)\alpha y+{\frac {(i+2)(i+3)}{1.2}}\alpha ^{2}y^{2}+(i+3)\alpha ^{2}y'.$

Supposons

${\begin{aligned}y&={\rm {Y^{(1)}\ +Y^{(2)}\ +Y^{(3)}+\ldots ,}}\\y'&={\rm {Y'^{(1)}+Y'^{(2)}+Y'^{(3)}+\ldots ,}}\\y^{2}&={\rm {M^{(0)}+M^{(1)}+M^{(2)}+\ldots ,}}\end{aligned}}$

${\rm {Y^{(i)},Y'^{(i)},}}$ et ${\rm {M^{(i)}}}$ étant assujettis à la même équation aux différences partielles que ${\rm {U^{(i)}}}$ nous aurons

${\rm {Z}}^{(i)}=(i+3)\alpha {\rm {Y}}^{(i)}+{\frac {(i+2)(i+3)}{1.2}}\alpha ^{2}{\rm {M}}^{(i)}+(i+3)\alpha ^{2}{\rm {Y'}}^{(i)}.$

Nous observerons ensuite que ${\rm {U}}^{(i)}$ est une quantité de l’ordre $\alpha ,$ puisqu’elle serait nulle si le sphéroïde était une sphère ; en ne portant ainsi l’approximation que jusqu’aux termes de l’ordre $\alpha ^{2},\ {\rm {U}}^{(i)}$ sera de cette forme $\alpha {\rm {U'}}^{(i)}+\alpha ^{2}{\rm {U''}}^{(i)}.$ En substituant donc ces valeurs dans l’équation précédente de l’équilibre, et en y changeant $r$ dans $1+\alpha y+\alpha ^{2}y',$ on aura, aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{2},$

${\begin{aligned}{\rm {const}}.&=m\left(1-\alpha y+\alpha ^{2}y^{2}-\alpha ^{2}y'^{2}\right)\\&+\Sigma \left[{\rm {U'}}^{(i)}+\alpha ^{2}{\rm {U''}}^{(i)}-(i+1)\alpha ^{2}y{\rm {U'}}^{(i)}+{\frac {4\alpha \pi }{2i+1}}{\rm {Y}}^{(i)}\right.\\\\&\left.-{\frac {4\alpha ^{2}\pi (i+1)}{2i+1}}y{\rm {Y}}^{(i)}+{\frac {4\alpha ^{2}\pi }{2i+1}}{\rm {Y'}}^{(i)}+{\frac {4\alpha ^{2}\pi (i+2)}{2(2i+1)}}{\rm {M}}^{(i)}\right]\\\\&-{\frac {\alpha g(1+2\alpha y)}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).\end{aligned}}$

En égalant séparément à zéro les termes de l’ordre $\alpha$ et ceux de l’ordre