on aura les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Sigma \left(m-{\frac {4\pi }{2i+1}}\right){\rm {Y}}^{(i)}=\Sigma {\rm {U'}}^{(i)}-{\frac {g'}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),\\\\&\Sigma \left(m-{\frac {4\pi }{2i+1}}\right){\rm {Y'}}^{(i)}={\rm {C'+}}\\&\Sigma \left[{\rm {U''}}^{(i)}-(i+1)y{\rm {U'}}^{(i)}-{\frac {4\pi (i+1)}{2i+1}}y{\rm {Y}}^{(i)}+\left(m+{\frac {4\pi (i+2)}{2(2i+1)}}\right){\rm {M'}}^{(i)}\right]\\&\qquad -g'y\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b795dea90e3db86cf52d377c4f7657c82597c6)
étant une constante arbitraire. La première de ces équations détermine 
et par conséquent la valeur de 
En la substituant dans le second membre de la seconde équation, on le développera, par la méthode du no 16, dans une suite de la forme
étant assujetti à la même équation aux différences partielles que 
et l’on déterminera la constante de manière que soit nul ; on aura ainsi
et par conséquent
L’expression du rayon 
de la surface fluide sera ainsi déterminée aux quantités près de l’ordre 
et l’on pourra, par le même procédé, porter l’approximation aussi loin que l’on voudra. Nous n’insisterons pas davantage sur cet objet, qui n’a de difficulté que la longueur du calcul ; mais nous tirerons de l’analyse précédente cette conclusion importante, savoir, que l’on peut affirmer que l’équilibre est rigoureusement possible, quoique l’on ne puisse pas assigner la figure rigoureuse qui y satisfait ; car on peut trouver une suite de figures qui, substituées dans l’équation de l’équilibre, laissent des restes successivement plus petits et qui deviennent moindres qu’aucune grandeur donnée.
