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Maintenant, si l’on nomme ${\rm {V}}$ l’angle que fait le plan du méridien céleste avec celui des $x$ et des $z,$ d’où l’on compte l’origine de l’angle $\varphi ,$ on aura

$dx'\operatorname {tang} {\rm {V}}=dy',$

$x',y',z'$ étant les coordonnées de ce méridien, dont on a vu dans le numéro précédent que l’équation différentielle est

$dz'=adx'+bdy'.$

En la comparant à la précédente, on voit que $a$ et $b$ sont infinis, et tels que $-{\frac {a}{b}}=-\operatorname {tang} {\rm {V}}\,;$ l’équation (a) du numéro précédent donne ensuite

$0={\frac {\partial u}{\partial x}}\operatorname {tang} {\rm {V}}-{\frac {\partial u}{\partial y}},$

d’où l’on tire

$0=x\operatorname {tang} {\rm {V}}-y-\alpha {\frac {\partial u'}{\partial x}}\operatorname {tang} {\rm {V}}+\alpha {\frac {\partial u'}{\partial y}}.$

On peut supposer ${\rm {V=\varphi }}$ dans les termes multipliés par $\alpha$ ; de plus, ${\frac {y}{x}}=\operatorname {tang} \varphi \,;$ on a donc

$\cos \psi \cos \varphi (\operatorname {tang} \varphi -\operatorname {tang} {\rm {V}})={\frac {\alpha {\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}}{\cos \psi \cos \varphi }},$

ce qui donne

$\varphi -{\rm {V}}={\frac {\alpha {\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}}{\cos ^{2}\psi }}.$

Le premier côté de la ligne géodésique étant supposé parallèle au plan du méridien céleste, les différentielles de l’angle ${\rm {V}}$ et de la distance $(\varphi -{\rm {V)\cos \psi }}$ de l’origine de la courbe au plan du méridien céleste doivent être nulles à cette origine ; on a donc à ce point

${\frac {\varphi }{\psi }}=(\varphi -{\rm {V}})\operatorname {tang} \psi ={\frac {\alpha {\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi }{\cos ^{2}\psi }},$