Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/142

on aura donc

(q)$\quad \left\{{\begin{aligned}r^{2}d\theta =&c'ds\sin \varphi +c''ds\cos \varphi \\&-\alpha ds\cos \varphi \int ds\left({\frac {\partial u'}{\partial \psi }}\cos \varphi +{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}\sin \varphi \operatorname {tang} \psi \right)\\\\&-ads\sin \varphi \int ds\left({\frac {\partial u'}{\partial \psi }}\sin \varphi -{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}\cos \varphi \operatorname {tang} \psi \right).\end{aligned}}\right.$

Considérons d’abord le cas dans lequel le premier côté de la ligne géodésique est parallèle au plan correspondant du méridien céleste. Dans ce cas, $d\varphi$ est de l’ordre $\alpha ,$ ainsi que $dr$ ; on a donc, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},\ ds=-rd\theta ,$ l’arc $s$ étant supposé croître de l’équateur aux pôles. $\psi$ exprimant la latitude, il est facile de voir que l’on a $\theta =100^{\circ }-{\frac {\partial r}{\partial \psi }},$ ce qui donne

$d\theta =-d\psi -\alpha d\psi {\frac {\partial ^{2}u'}{\partial \psi ^{2}}}\,;$

on a donc

$ds=d\psi \left(1+\alpha u'+\alpha {\frac {\partial ^{2}u'}{\partial \psi ^{2}}}\right).$

Ainsi, en nommant $\varepsilon$ la différence en latitude des deux points extrêmes de l’arc $s$, on aura

$s=\varepsilon +\alpha \varepsilon \left(u'_{\text{ı}}+{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \psi ^{2}}}\right)+{\frac {\alpha \varepsilon ^{2}}{1.2}}\left({\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}+{\frac {\partial ^{3}u'_{\text{ı}}}{\partial \psi ^{3}}}\right)+\ldots ,$

$u'_{\text{ı}}$ étant ici la valeur de $u'$ à l’origine de $s.$

Lorsque la Terre est un solide de révolution, la ligne géodésique est toujours dans le plan d’un même méridien ; elle s’en écarte si les parallèles ne sont pas des cercles ; l’observation de cet écart peut donc nous éclairer sur ce point important de la tbéorie de la Terre. Reprenons l’équation (p), et observons que, dans le cas présent, $d\varphi$ et la constante $c$ de cette équation sont de l’ordre $\alpha ,$ et que l’on peut y supposer $r=1,\ ds=d\psi ,$ et $\theta =100^{\circ }-\psi \,;$ on aura ainsi

$d\varphi \cos ^{2}\psi =cd\psi +\alpha d\psi \int d\psi {\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}.$