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mais on a à fort peu près, en négligeant le carré de $\varepsilon ,$

$\varphi -\varphi _{\text{ı}}={\frac {c\varepsilon }{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}},\qquad c=\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}\,;$

on aura donc

${\rm {V-V_{\text{ı}}}}=-{\frac {\alpha \varepsilon }{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}\left({\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}+{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi \partial \psi }}\right),$

d’où résulte cette équation fort simple

${\rm {V-V_{\text{ı}}}}\sin \psi _{\text{ı}}=\varpi \,;$

ainsi l’on peut, par l’observation seule et indépendamment de la connaissance de la figure de la Terre, déterminer la différence en longitude des méridiens correspondants aux extrémités de l’arc mesuré ; et, si la valeur de l’angle $\varpi$ est telle que l’on ne puisse pas l’attribuer aux erreurs des observations, on sera sûr que la Terre n’est pas un sphéroïde de révolution.

Considérons maintenant le cas où le premier côté de la ligne géodésique est perpendiculaire au plan correspondant du méridien céleste. Si l’on prend ce plan pour celui des $x$ et des $z,$ le cosinus de l’angle formé par ce côté sur ce plan sera ${\frac {\sqrt {dx^{2}+dz^{2}}}{ds}}\,;$ ainsi, ce cosinus étant nul à l’origine, on a $dx=0,\ dz=0,$ ce qui donne

$d.r\sin \theta \cos \varphi =0,\qquad d.r\cos \theta =0,$

et par conséquent

$rd\theta =rd\varphi \sin \theta \cos \theta \operatorname {tang} \varphi \,;$

mais on a, aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{2},\ ds=rd\varphi \sin \theta \,;$ on aura donc à l’origine

${\frac {d\theta }{ds}}={\frac {\operatorname {tang} \varphi \cos \theta }{r}}.$

La constante $c''$ de l’équation [q) est égale à la valeur de $xdz-zdx$ à l’origine ; elle est donc nulle, et l’équation [q) donne à l’origine

${\frac {d\theta }{ds}}={\frac {c'}{r^{2}}}\sin \varphi \,;$