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on a donc, en observant que $\varphi$ est ici de l’ordre $\alpha ,$ et qu’ainsi, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ on a $\sin \varphi =\operatorname {\operatorname {tang} } \varphi ,$

$c'=r_{\text{ı}}\cos \theta _{\text{ı}},$

les quantités $r_{\text{ı}}$ et $\theta _{\text{ı}}$, étant relatives à l’origine ; partant, si l’on considère qu’à cette origine l’angle $\varphi$ est ce que nous avons nommé précédemment $\varphi _{\text{ı}}-{\rm {V}}_{\text{ı}}$ et dont nous avons trouvé la valeur égale à ${\frac {\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}},$ on aura à ce point

${\frac {d\theta _{\text{ı}}}{ds}}=\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}{\frac {\sin \psi _{\text{ı}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}.$

L’équation (q) donne ensuite

${\frac {d^{2}\theta _{\text{ı}}}{ds^{2}}}={\frac {\cos \theta _{\text{ı}}}{r_{\text{ı}}}}{\frac {d\varphi _{\text{ı}}}{ds}}-\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\,;$

mais on a

${\frac {d\varphi _{\text{ı}}}{ds}}={\frac {1}{r_{\text{ı}}\sin \theta _{\text{ı}}}},\qquad r_{\text{ı}}=1+\alpha u'_{\text{ı}},\qquad \theta _{\text{ı}}=100^{\circ }-\psi _{\text{ı}}-\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\,;$

on aura donc

${\frac {d^{2}\theta _{\text{ı}}}{ds^{2}}}=\left(1-2\alpha u'_{\text{ı}}\right)\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}+\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}.$

L’équation (p) donne, en observant qu’à l’origine

${\frac {d\varphi _{\text{ı}}}{ds}}={\frac {1}{r_{\text{ı}}\sin \theta _{\text{ı}}}}={\frac {1}{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left(1-\alpha u'_{\text{ı}}+\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}\right),$

celle-ci

$c=r_{\text{ı}}\sin \theta _{\text{ı}},$

d’où l’on tire

${\frac {d^{2}\varphi _{\text{ı}}}{ds^{2}}}=-{\frac {2\alpha {\frac {du'_{\text{ı}}}{ds}}}{r^{2}\sin \theta _{\text{ı}}}}-{\frac {2{\frac {d\theta _{\text{ı}}}{ds}}\cos \theta _{\text{ı}}}{r_{\text{ı}}\sin ^{2}\theta _{\text{ı}}}}+{\frac {\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}},$

et par conséquent

${\frac {d^{2}\varphi _{\text{ı}}}{ds^{2}}}=-\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}{\frac {2-\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}{\cos ^{4}\psi _{\text{ı}}}}.$