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partant,

${\rm {V-V_{\text{ı}}}}={\frac {s}{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left(1-\alpha u'_{\text{ı}}+\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\operatorname {\operatorname {tang} } \psi _{\text{ı}}-{\frac {\alpha {\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi ^{2}}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}\right).$

Pour plus d’exactitude, il faut ajouter à cette valeur de ${\rm {V-V_{\text{ı}},}}$ le terme dépendant de $s^{3}$ et indépendant de $\alpha ,$ que l’on obtient dans l’hypothèse de la Terre sphérique ; ce terme est égal à $-{\frac {1}{3}}s^{3}{\frac {-\operatorname {tang} ^{2}\psi _{\text{ı}}}{\cos \psi _{\text{ı}}}}\,;$ ainsi l’on a

${\rm {V-V_{\text{ı}}}}={\frac {s}{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left(1-\alpha u'_{\text{ı}}+\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\operatorname {\operatorname {tang} } \psi _{\text{ı}}-{\frac {\alpha {\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi ^{2}}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}-{\frac {1}{3}}s^{2}\operatorname {tang} ^{2}\psi _{\text{ı}}\right).$

Il nous reste à déterminer l’angle azimutal à l’extrémité de l’arc $s$. Pour cela, nommons $x'$ et $y'$ les coordonnées $x$ et $y$, rapportées au méridien de la dernière extrémité de l’arc $s$ ; il est facile de voir que le cosinus de l’angle azimutal est égal à ${\frac {\sqrt {dx'^{2}+dz^{2}}}{ds}}.$ Si l’on rapporte les coordonnées $x$ et $y$ au plan du méridien correspondant à la première extrémité de l’arc, son premier côté étant supposé perpendiculaire au plan de ce méridien, on aura

${\frac {dx_{\text{ı}}}{ds}}=0,\qquad {\frac {dz_{\text{ı}}}{ds}}=0,\qquad {\frac {dy_{\text{ı}}}{ds}}=1\,;$

partant, en ne conservant que la première puissance de $s,$

${\frac {dx}{ds}}=s{\frac {d^{2}x_{\text{ı}}}{ds^{2}}},\qquad {\frac {dz}{ds}}=s{\frac {d^{2}z_{\text{ı}}}{ds^{2}}}\,;$

or on a

$x'=x\cos \left({\rm {V-V_{\text{ı}}}}\right)+y\sin \left({\rm {V-V_{\text{ı}}}}\right)\,;$

ainsi, ${\rm {V-V_{\text{ı}}}}$ étant, par ce qui précède, de l’ordre $\alpha ,$ on aura

${\frac {dx'}{ds}}=s{\frac {d^{2}x_{\text{ı}}}{ds^{2}}}+\left({\rm {V-V_{\text{ı}}}}\right){\frac {dy_{\text{ı}}}{ds}}.$

Maintenant on a

$x=r\sin \theta \cos \varphi ,\qquad z=r\cos \theta \,;$

on aura donc, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ et observant