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L’équation

$\theta =100^{\circ }-\psi -\alpha {\frac {\partial u'}{\partial \psi }}$

donne, en ne conservant parmi les termes de l’ordre $s^{2}$ que ceux qui sont indépendants de $\alpha ,$

$\psi -\psi _{\text{ı}}=-s{\frac {d\theta _{\text{ı}}}{ds}}-{\frac {1}{2}}s^{2}{\frac {d^{2}\theta _{\text{ı}}}{ds^{2}}}-{\frac {\alpha s}{\cos \psi _{\text{ı}}}}{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi \partial \psi }}\,;$

partant,

$\psi -\psi _{\text{ı}}=-{\frac {\alpha s}{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left({\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}+{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi \partial \psi }}\right)-{\frac {1}{2}}s^{2}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}.$

La différence des latitudes aux deux extrémités de l’arc mesuré fera donc connaître la fonction

$-{\frac {\alpha s}{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left({\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}+{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi \partial \psi }}\right)\,;$

il est remarquable que, pour le même arc mesuré dans le sens du méridien, cette fonction est, par ce qui précède, égale à ${\frac {\varpi }{\operatorname {tang} \psi }}\,;$ elle pourra ainsi être déterminée de ces deux manières, et l’on pourra juger si les valeurs trouvées soit de la différence des latitudes, soit de l’angle azimutal $\omega$ sont dues aux erreurs des observations ou à l’excentricité des parallèles terrestres.

On a, en ne conservant que la première puissance de $s,$

$\varphi -\varphi _{\text{ı}}=s{\frac {d\varphi _{\text{ı}}}{ds}}={\frac {s}{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left(1-\alpha u'_{\text{ı}}+\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\operatorname {\operatorname {tang} } \psi _{\text{ı}}\right).$

$\varphi -\varphi _{\text{ı}}$ n’est pas la différence en longitude des deux extrémités de l’arc $s$ ; cette différence est égale à ${\rm {V-V_{\text{ı}}\,;}}$ or on a, par ce qui précède.

$\varphi -{\rm {V}}={\frac {\alpha {\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}}{\cos ^{2}\psi }},$

ce qui donne

$\varphi -{\rm {V}}-\left(\varphi _{\text{ı}}-{\rm {V}}_{\text{ı}}\right)={\frac {\alpha s{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi \partial s}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}={\frac {\alpha s{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi ^{2}}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}^{3}}}\,;$