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Dans le sens perpendiculaire au méridien, on a, par ce qui précède,

$\alpha {\frac {d^{2}u'_{\text{ı}}}{ds^{2}}}={\frac {\alpha {\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi ^{2}}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}-\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}\,;$

partant,

${\rm {R}}=1+\alpha u'_{\text{ı}}-\alpha {\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}+{\frac {\alpha {\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi ^{2}}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}.$

Si dans l’expression précédente de ${\rm {V-V_{\text{ı}},}}$ on fait ${\frac {s}{\rm {R}}}=s',$ elle prend cette forme très-simple, relative à une sphère du rayon ${\rm {R}}$,

${\rm {V-V_{\text{ı}}={\frac {s'}{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left(1-{\frac {1}{3}}s'^{2}\operatorname {tang} ^{2}\psi _{\text{ı}}\right)\,;}}$

l’expression de l’angle azimutal devient

$100^{\circ }-s'\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}\left[1-{\frac {1}{3}}s'^{2}\left({\frac {1}{2}}+\operatorname {tang} ^{2}\psi _{\text{ı}}\right)\right].$

Nommons $\lambda$ l’angle que le premier côté de la ligne géodésique forme avec le plan correspondant du méridien céleste ; on aura

${\frac {d^{2}u'}{ds^{2}}}={\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}{\frac {d^{2}\varphi }{ds^{2}}}+{\frac {\partial u'}{\partial \psi }}{\frac {d^{2}\psi }{ds^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u'}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {d\varphi ^{2}}{ds^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}u'}{\partial \varphi \partial \psi }}{\frac {d\varphi }{ds}}{\frac {d\psi }{ds}}+{\frac {\partial ^{2}u'}{\partial \psi ^{2}}}{\frac {d\psi ^{2}}{ds^{2}}}$

Mais dans l’hypothèse de la Terre sphérique on a

${\begin{alignedat}{2}{\frac {d\varphi _{\text{ı}}}{ds}}&={\frac {\sin \lambda }{\cos \psi _{\text{ı}}}},&\qquad {\frac {d^{2}\varphi _{\text{ı}}}{ds^{2}}}&={\frac {2\sin \lambda \cos \lambda }{\cos \psi _{\text{ı}}}}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}},\\\\{\frac {d\psi _{\text{ı}}}{ds}}&=\cos \lambda ,&{\frac {d^{2}\psi _{\text{ı}}}{ds^{2}}}&=-\sin ^{2}\lambda \operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}\,;\end{alignedat}}$

partant,

${\frac {d^{2}u'_{\text{ı}}}{ds^{2}}}=2{\frac {\sin \lambda \cos \lambda }{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left({\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}+{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi \partial \psi }}\right)-\sin ^{2}\lambda \operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}{\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}$

$+{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\sin ^{2}\lambda }{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}+{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \psi ^{2}}}\cos ^{2}\lambda \,;$