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le rayon osculateur ${\rm {R}}$ dans le sens de cette ligne géodésique est donc

${\begin{aligned}1&+\alpha u'_{\text{ı}}+2\alpha {\frac {\sin \lambda \cos \lambda }{\cos \psi _{\text{ı}}}}\!\left({\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}+{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi \partial \psi }}\right)\!-\alpha \sin ^{2}\lambda \operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}{\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}\\\\&+\alpha {\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi ^{2}}}{\frac {\sin ^{2}\lambda }{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \psi ^{2}}}\cos ^{2}\lambda .\end{aligned}}$

Soit, pour abréger,

${\begin{aligned}{\rm {K}}&=1+\alpha u'_{\text{ı}}-{\frac {1}{2}}\alpha \operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}{\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}+{\frac {1}{2}}{\frac {\alpha {\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi ^{2}}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}+{\frac {1}{2}}\alpha {\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \psi ^{2}}},\\\\{\rm {A}}&={\frac {\alpha }{\cos \psi _{\text{ı}}}}\left({\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi }}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}+{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi \partial \psi }}\right),\\\\{\rm {B}}&={\frac {\alpha }{2}}\operatorname {tang} \psi _{\text{ı}}{\frac {\partial u'_{\text{ı}}}{\partial \psi }}-{\frac {{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \varphi ^{2}}}}{\cos ^{2}\psi _{\text{ı}}}}+{\frac {\alpha }{2}}{\frac {\partial ^{2}u'_{\text{ı}}}{\partial \psi ^{2}}}\,;\end{aligned}}$

on aura

${\rm {R}}={\rm {K}}+{\rm {A}}\sin 2\lambda +{\rm {B}}\cos 2\lambda .$

Les observations des angles azimutaux et de la différence des latitudes aux extrémités de deux lignes géodésiques mesurées, l’une dans le sens du méridien, l’autre dans le sens perpendiculaire au méridien, feront connaître, par ce qui précède, les valeurs de ${\rm {A,B}}$ et ${\rm {K}}$ ; car ces observations donnent les rayons osculateurs dans ces deux sens. Soient ${\rm {R}}$ et ${\rm {R'}}$ ces rayons ; on aura

${\rm {K={\frac {R'+R''}{2}},\qquad B={\frac {R'-R''}{2}},}}$

et la valeur de ${\rm {A}}$ sera déterminée soit par l’azimut de l’extrémité de l’arc mesuré dans le sens du méridien, soit par la différence en latitude des deux extrémités de l’arc mesuré dans le sens perpendiculaire au méridien. On aura ainsi le rayon osculateur de la ligne géodésique dont le premier côté forme un angle quelconque avec le plan du méridien.

Si l’on nomme ${\rm {2E}}$ un angle dont la tangente est ${\rm {{\frac {A}{B}},}}$ on aura

${\rm {R=K+{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\cos(2\lambda -2E)\,;}}$